【高校数I】三角比の相互における重要定理を元数学科が解説する【苦手克服】

前回に引き続き三角比の解説をします。

 

今回はいくつか公式を説明します。これは大変重要なものでありますので確実に覚えましょう！

 

公式その１

 

$\sin θ=\cos θ\tan θ$

$\sin^2θ + \cos^2θ =1$

$1+tan^2θ=\frac{1}{\cos^2θ}$

 

まずはこの３つ。めちゃくちゃ大事です！覚えていないとお話になりません。何回も書いたり読んだりして頭に叩き込みましょう( ^ω^ )

 

この公式を使えば$\sin θ$、$\cos θ$、$\tan θ$のうち１つが分かっている時、他の２つもわかるようになります。

 

 

練習問題

 

公式を使って次の問題を解いてみましょう。

 

ーー《問題》ーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーー

 

$θ$は鋭角とする。

①$\cos θ=\frac{3}{5}$の時$\sin θ$、$tan θ$を求めなさい

②$\tan θ=3$の時$\sin θ$、$\cos θ$を求めなさい

 

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《解答》

 

①まずは$\sin^2 θ+\cos^2 θ=1$より

$\sin^2 θ+(\frac{3}{5})^2=1$

$\sin^2 θ+\frac{9}{25}=1$

$\sin^2 θ=\frac{16}{25}$

$θ$は鋭角なので$\sin θ \gt 0$

よって$\sin θ=\frac{4}{5}$

$\sin θ=\cos θ\tan θ$より$\tan θ=\frac{\sin θ}{\cos θ}$

代入して

$\tan θ=\displaystyle \frac{\frac{4}{5}}{\frac{3}{5}}$

$\tan θ=\frac{4}{3}$

したがって$\sin θ=\frac{4}{5}$、$\tan θ=\frac{4}{3}$

 

②まずは$1+tan^2θ=\frac{1}{\cos^2θ}$より

$1+3^2=\frac{1}{\cos^2 θ}$

$\cos^2 θ=\frac{1}{10}$

$\cos θ=\frac{1}{\sqrt{10}}$

$\sin θ=\cos θ\tan θ$より

$\sin θ=\frac{1}{\sqrt{10}} \times 3$

$\sin θ=\frac{3}{\sqrt{10}}$

したがって$sin θ=\frac{3}{\sqrt{10}}$、$\cos θ=\frac{1}{\sqrt{10}}$

 

 

公式その２

$\sin(90°-θ)=\cos θ$

$\cos(90°-θ)=\sin θ$

$\tan(90°-θ)=\frac{1}{\tan θ}$

 

 

こちらも大変重要です。こちらもしっかり覚えておきましょう！

 

 

練習問題

 

ではこの公式を用いた練習問題を解いてみましょう。

 

ーー《問題》ーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーー

 

①$\cos^2 25° + \cos^2 65° =1$を証明しなさい

②$\tan 35° \tan 55° =1$を証明しなさい

 

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《解答》

 

①$\cos (90°-θ)=\sin θ$より、$\cos^2 25°=(\cos 25°)^2=\{\sin(90°-25°)\}^2=(\sin 65°)^2=\sin^2 65°$

したがって

$(左辺)=\sin^2 65° + \cos^2 65°$

ここで$\sin^2 θ + \cos^2 θ =1$より

$(左辺)=\sin^2 65° + \cos^2 65°=1$

 

②$\tan (90°-θ)=\frac{1}{\tan θ}$より$\tan 35°=\tan(90°-55°)=\frac{1}{\tan 55°}$

したがって

$(左辺)=\frac{1}{\tan 55°} \times \tan 55° =1$

 

 

最後に

次回はもう少し踏み込んだお話をします。

場合分けが必要になってくる問題が登場します！