【高校数I】三角比の相互における重要定理を元数学科が解説する【苦手克服】

前回に引き続き三角比の解説をします。

 

今回はいくつか公式を説明します。これは大変重要なものでありますので確実に覚えましょう！

 

公式その１

 

$\sin \theta =\cos \theta \tan \theta$

${\sin }^2\theta +{\cos }^2\theta =1$

$1+ta{n}^2\theta =\frac{1}{{\cos }^2\theta }$

 

まずはこの３つ。めちゃくちゃ大事です！覚えていないとお話になりません。何回も書いたり読んだりして頭に叩き込みましょう( ^ω^ )

 

この公式を使えば$\sin \theta$、$\cos \theta$、$\tan \theta$のうち１つが分かっている時、他の２つもわかるようになります。

 

 

練習問題

 

公式を使って次の問題を解いてみましょう。

 

ーー《問題》ーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーー

 

$\theta$は鋭角とする。

①$\cos \theta =\frac{3}{5}$の時$\sin \theta$、$tan\theta$を求めなさい

②$\tan \theta =3$の時$\sin \theta$、$\cos \theta$を求めなさい

 

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《解答》

 

①まずは${\sin }^2\theta +{\cos }^2\theta =1$より

${\sin }^2\theta +(\frac{3}{5}{)}^2=1$

${\sin }^2\theta +\frac{9}{25}=1$

${\sin }^2\theta =\frac{16}{25}$

$\theta$は鋭角なので$\sin \theta >0$

よって$\sin \theta =\frac{4}{5}$

$\sin \theta =\cos \theta \tan \theta$より$\tan \theta =\frac{\sin \theta }{\cos \theta }$

代入して

$\tan \theta ={\displaystyle \frac{\frac{4}{5}}{\frac{3}{5}}}$

$\tan \theta =\frac{4}{3}$

したがって$\sin \theta =\frac{4}{5}$、$\tan \theta =\frac{4}{3}$

 

②まずは$1+ta{n}^2\theta =\frac{1}{{\cos }^2\theta }$より

$1+3^2=\frac{1}{{\cos }^2\theta }$

${\cos }^2\theta =\frac{1}{10}$

$\cos \theta =\frac{1}{\sqrt{10}}$

$\sin \theta =\cos \theta \tan \theta$より

$\sin \theta =\frac{1}{\sqrt{10}}\times 3$

$\sin \theta =\frac{3}{\sqrt{10}}$

したがって$sin\theta =\frac{3}{\sqrt{10}}$、$\cos \theta =\frac{1}{\sqrt{10}}$

 

 

公式その２

$\sin (90°-\theta )=\cos \theta$

$\cos (90°-\theta )=\sin \theta$

$\tan (90°-\theta )=\frac{1}{\tan \theta }$

 

 

こちらも大変重要です。こちらもしっかり覚えておきましょう！

 

 

練習問題

 

ではこの公式を用いた練習問題を解いてみましょう。

 

ーー《問題》ーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーー

 

①${\cos }^{2}25°+{\cos }^{2}65°=1$を証明しなさい

②$\tan 35°\tan 55°=1$を証明しなさい

 

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《解答》

 

①$\cos (90°-\theta )=\sin \theta$より、${\cos }^{2}25°=(\cos 25°{)}^2=\{\sin (90°-25°){\}}^2=(\sin 65°{)}^2={\sin }^{2}65°$

したがって

$(\mathrm{左}\mathrm{辺})={\sin }^{2}65°+{\cos }^{2}65°$

ここで${\sin }^2\theta +{\cos }^2\theta =1$より

$(\mathrm{左}\mathrm{辺})={\sin }^{2}65°+{\cos }^{2}65°=1$

 

②$\tan (90°-\theta )=\frac{1}{\tan \theta }$より$\tan 35°=\tan (90°-55°)=\frac{1}{\tan 55°}$

したがって

$(\mathrm{左}\mathrm{辺})=\frac{1}{\tan 55°}\times \tan 55°=1$

 

 

最後に

次回はもう少し踏み込んだお話をします。

場合分けが必要になってくる問題が登場します！