【高校数I】三角比の拡張の応用問題を元数学科が解説する【苦手克服】

今回は三角比の拡張についての練習問題をいくつか用意しました！

 

次の不等式を解きなさい。

今回は$0°\leqq \theta \leqq 180°$とする。

 

この問題を解くには

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この知識が必要になります。

この辺り忘れた方へ、こちらの記事をぷれぜんとふぉーゆー

 

【高校数I】三角比の拡張を元数学科が解説する【苦手克服】

今回の記事は、【高校数学】【数I】『図形と計量』の三角比の拡張についての内容です。180°-θを学びます。けっこう引っかかりやすいところもあり、つまづく人もいるかと思います。

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2021.01.14

 

 

（１）$\cos \theta >\frac{\sqrt{3}}{2}$

 

ここでこのパターンの問題の解き方手順を書き記します。

大抵これで大丈夫です(● ˃̶͈̀ロ˂̶͈́)੭ꠥ⁾⁾

今回出題した問題は全てこれを使って解きます。

 

①$\cos \theta =\frac{\sqrt{3}}{2}$を解きます。$(0°\leqq \theta \leqq 180°)$

この三角形パターンなので、$\theta =30°$です。

 

 

②$\cos \theta$は次のように変化していくため

$\cos \theta >0$を満たす範囲は次の赤色部分です。

したがって$0°\leqq \theta <30°$

 

 

 

（２）$\sin \theta \geqq \frac{1}{2}$

 

 

①$\sin \theta =\frac{1}{2}$を解きます。$(0°\leqq \theta \leqq 180°)$

この２箇所ですね？

したがって$\theta =30°,150°$

②$\sin \theta$は次のように変化していくため

よって次の赤色部分です。

つまり$30°\leqq \theta \leqq 150°$

 

（３）$\sin \theta <\frac{1}{\sqrt{2}}$

 

 

①$\sin \theta =\frac{1}{\sqrt{2}}$を解きます。$(0°\leqq \theta \leqq 180°)$

これは次のパターンになります。

したがって$\theta =45°,135°$

 

 

②$\sin \theta$は次の変化なので

$\sin \theta <\frac{1}{\sqrt{2}}$を満たすのは次の赤色部分です。

したがって$0°\leqq \theta <45°$、$135°<\theta \leqq 180°$

 

 

（４）$-\sqrt{3}<\tan \theta \leqq 1$

 

①$\tan \theta =-\sqrt{3}$と$\tan \theta =1$（$0°\leqq \theta \leqq 180°$）を解くと

 

$\tan \theta =-\sqrt{3}$

これを満たす三角形は

です。よって$\theta =120°$

 

$\tan \theta =1$

これを満たす三角形は

です。よって$\tan \theta =45°$

 

②$\tan \theta$については先ほどお話しした通り$0°\leqq \theta <90°$と$90°<\theta \yen leqq180°$でパターンが変わってきます。

①で出した$\theta =45°$、$\theta =135°$はそれぞれ$0°\leqq \theta <90°$、$90°<\theta 180°$の範囲内なのでそれぞれ分けて考えます。

 

$-\sqrt{3}<\tan \theta$の場合

$\tan θ　 （90° \lt θ \leqq 180°）は次のように変化します。

 

$\tan \theta =-\sqrt{3}$の時$\theta =120°$なのでこれを満たす範囲は次の部分です。

したがって$120°<\theta \leqq 180°$

 

$\tan \theta \leqq 1$の場合

$\tan θ　 （0° \lt θ \leqq 90°）は次のように変化します。

$\tan \theta =1$の時$\theta =45°$なのでこれを満たす範囲は次の部分です。

したがって$0°\leqq \theta <45°$

 

以上のことから答えは$0°\leqq \theta <45°$、$120°<\theta \leqq 180°$

 

 

最後に

しっかり図を書いて解くと理解しやすいかと思います。

めんどくさいかもですが図は書いたほうがいいです。