【高校数A】「三角形の内分・外分・内心・外心・重心」を解説する！【苦手克服】

今回は「三角形の内分」「三角形の外分」「三角形の内心」「三角形の外心」「三角形の重心」について解説します。

みなさんは図形の問題は得意ですか？

図形の問題で重要なのは

「情報をしっかり漏らすことなく図に書き込むこと」

です。

これを疎かにすると情報に漏れが出てしまいます。

もちろん数学ができる人は必要な情報のみ厳選できることでしょう。苦手な方は「どれが問題を解くのに必要なのか？」なんて考えなくてもいいのでとにかく得られる情報は全て書き出しましょう。問題をこなすうちに段々と情報の取捨選択ができるようになります。

さて、今回のテーマと少しずれてしまいましたが、ここらで話題を戻しまして解説していきたいと思います。

三角形の比（内分・外分）

まずはある三角形△ABCを用意します。

 

 

内分

証明

この証明をするには２本の平行線両方に交わる直線について、角に関する次の定理を知っておく必要があります。

 

後もう一つ

では本編に入ります。

先程の△ABCを用意しまして、$\mathrm{\angle }A$の二等分線を引きそれと辺BCの交点をHとする。

ここで、頂点Bを通りAHと平行な線を書き、ACを延長した線との交点をDとおく。

$AH//DB$より$\mathrm{\angle }CAH=\mathrm{\angle }ADB$…①

$AH//DB$より$\mathrm{\angle }BAH=\mathrm{\angle }DBA$…②

辺AHは$\mathrm{\angle }BAC$の二等分線より$\mathrm{\angle }BAH=\mathrm{\angle }CAH$…③

①、②を③に代入すると$\mathrm{\angle }ADB=\mathrm{\angle }DBA$…④

△ACDついて、④より$AB=AD$の二等辺三角形であることがわかります。

図を少し回転させましょう。

この時、

$CA:AD=CH:HB$

$AD=AB$より

$CA:AB=CH:HB$。整えて、$AB:AC=BH:HC$

 

外分

△ABCを用意します。

 

証明

またABの延長線上にGを定義して、頂点Cを通ってAHに平行な直線とABとの交点をDとおく。

$DC//AH$より$\mathrm{\angle }ADC=\mathrm{\angle }GAH$

$DC//AH$より$\mathrm{\angle }ACD=\mathrm{\angle }HAC$

$\mathrm{\angle }HAC=\mathrm{\angle }GAH$より$\mathrm{\angle }ADC=\mathrm{\angle }ACD$

△ADCについて、$\mathrm{\angle }ACD=\mathrm{\angle }ADC$なので二等辺三角形になります。

△ABHについて、$CD//AH$より

$CH:BH=AD:AB$

$AC=AD$より$CH:BH=AC:AB$

 

三角形の内心・外心・重心

内分、外分を学んだ後は『内心・外心・重心』について勉強しましょう。

 

『三角形の内心』とは、三角形の３つの角の２等分線が交わる点です。

『三角形の外心』とは、３辺の垂直二等分線が交わる点です。

図に書くと

 

『三角形の重心』とは、三角形の各頂点から対辺へ描く中線が交わる点です。

図に書くと

 

ここでみなさん、なぜ内心、外心と呼ぶか分かりますか？

それは内心の場合、

このように、内心と内接円の中心が同じだからです。

外心の場合も、

外心と外接円の中心が同じだからです。

 

重心の特徴は

のように各中線を２：１に内分していることです。

練習問題

「内分」「外分」「内心」「外心」「重心」について学びましたので、せっかくですから練習問題を解いてみましょう！

問①

$\mathrm{\angle }BAH=\mathrm{\angle }CAH$とする。

この時BH、CHの長さを求めなさい。

《解答》

$\mathrm{\angle }BAH=\mathrm{\angle }CAH$より点Hは頂点Aに関するBCの内分点ですので

$AB:AC=BH:CH$

です。

AB=9、AC=3より代入して

$9:3=BH:CH$

$3:1=BH:CH$

$BH=3CH$

ここで$CH=x$と置くと、$BH=3CH$より$BH=3x$

ここで三角形を見てみましょう。$BH+CH=16$ですね？

ここに$CH=x$、$BH=3x$を代入すると

$3x+x=16$

$4x=16$

$x=4$

つまり$CH=4$、$BH=3\times 4=12$

答えは$BH=12$、$CH=4$

 

問②

$\mathrm{\angle }CAH=\mathrm{\angle }IAH$とする。

この時BC、HCの長さを求めなさい。

《解答》

図より点Hは△ABCの頂点Aに関する外分点であることがわかります。

よって

$AB:AC=BH:HC$

です。（外分の説明はこちら）

$6:4=BH:HC$

$4BH=6HC$

$2BH=3HC$

図よりBH=16なので代入して

$32=3HC$

$HC=\frac{32}{3}$

$BC+HC=16$なので

$BC=16-\frac{32}{3}=\frac{16}{3}$

答えは$BC=\frac{16}{3}$、$HC=\frac{32}{3}$

問③

この時次の長さを求めなさい。

（１）BH（２）CH（３）BI

 

《解答》

（１）

BHについて、点Hは△ABCの頂点Aに対する内分点であるので

$AB:AC=BH:HC$

AB=12、AC=4なので代入すると

$12:4=BH:HC$

$3:1=BH:HC$

$BH=3HC$

つまり$HC=x$と置くと、$BH=3x$

ここで図をもう一度見ていただくと、

$BH+HC=BC=6$

先程の$BH=3x$、$HC=x$を代入すると

$3x+x=6$

$4x=6$

$x=\frac{3}{2}$つまり$HC=\frac{3}{2}$、$BH=3x=3\times \frac{3}{2}=\frac{9}{2}$

答えは$BH=\frac{9}{2}$

（２）

これは（１）ででましたね？答えは$CH=\frac{3}{2}$

（３）

$BI=BC+CI$で、BC=6なので、CIを求めれば良いですね？

図を見ると、点Iは△ABCについて、頂点Aに対する外分点です。

$AB:AC=BI:IC$

$12:4=6+IC:IC$

$3:1=6+IC:IC$

$3IC=6+IC$

$2IC=6$

$IC=3$

つまり$BI=6+3=9$

答えは$BI=9$

 

問④

点Iは△ABCの内心である。この時xの角度を求めなさい。

 

 

 

《解答》

まずは『内心』の復習から

内分の性質より

三角形の各頂点の内角の合計は180°ですから

$2\times +2◽︎+70=180$

$2\times +2◽︎=110$

$\times +◽︎=55$…①

次に△IBCを見てみましょう。

三角形の内角を全て足すと180°ですから

$\times +◽︎+x=180$

①を代入して

$55+x=180$

$x=125$

答えは125°

 

まとめ