【高校数Ⅱ】式と証明「3次式の展開と因数分解」を元数学科が解説｜苦手克服

すごい久しぶりに数学の記事を書きます。

これからは数学記事も再開する予定ですのでみなさんぜひご覧ください(● ˃̶͈̀ロ˂̶͈́)੭ꠥ⁾⁾

 

というわけで今回から『数Ⅱ』の世界に入ります。

まずは

『3次式』についての展開・因数分解

についての学習です。

この分野は大体決まった出題パターンがありますのでとりあえずそれを完璧にマスターすることから始めましょう。

 

 

3次式の展開

まずは展開から学びましょう。

確実に覚えなければならない公式がいくつかあります。

ちなみに$(a-b)^3=a^3-3a^2b+3ab^2-b^3$に関しましては、上の公式のbを-bに置き換えただけですので最悪上の公式だけでも大丈夫です。ただこの分野を勉強していけば自然と覚えますのでご安心ください(^ ^)

 

その１よりも少し覚えにくいかもですね。

この分野では設問がこの公式に当てはめられるかを吟味することから始まります。

 

練習問題

(1)$(a+3)^3$
(2)$(2x-5y)^3$
(3)$(x+3)(x^2-3x+9)$
(4)$(2x-3y)(4x^2+6xy+9y^2)$

やることは公式を使って解くだけです。もう慣れ。解いた数だけ実力がつきます。

解説を効率良くするために

$(a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3$…①
$(a-b)^3=a^3-3a^2b+3ab^2-b^3$…②
$(a+b)(a^2-ab+b^2)=a^3+b^3$…③
$(a-b)(a^2+ab+b^2)=a^3-b^3$…④

とします。

《解答》

(1)こちらは①の公式を使って解きます。b→3のパターンですね！

$(a+3)^3=a^3+3 \times a^2 \times 3+3 \times a \times 3^2+3^3$
$=a^3+9a^2+27a+27$

答え…$a^3+9a^2+27a+27$

(2)こちらは②の公式を使って解きます。a→2x,b→5yのパターン。

$(2x-5y)^3=(2x)^3-3 \times (2x)^2 \times 5y + 3 \times 2x \times (5y)^2 – (5y)^3$
$=8x^3-60x^2y+150xy^2-125y^3$

答え…$8x^3-60x^2y+150xy^2-125y^3$

(3)こちらは③の公式を使って解きます。a→x,b→3のパターン。

$(x+3)(x^2-3x+9)=x^3+27$

答え…$x^3+27$

(4)こちらは④の公式を使って解きます。a→2x,b→3yのパターン。

$(2x-3y)(4x^2+6xy+9y^2)=(2x)^3-(3y)^3=8x^3-27y^3$

答え…$8x^3-27y^3$

 

3次式の因数分解

展開がひと段落したところで次に因数分解します。

とはいえ改めて覚える公式はありません。なぜなら使うのは先ほど学んだ「3次式の展開」の左辺と右辺を逆にしたものですから。

 

練習問題

(1)$8a^3+12a^2+6a+1$
(2)$27x^3-27x^2+9x-1$
(3)$8x^3+27y^3$
(4)$125a^3-64b^3$

公式を使って解くだけです。特に難しいことはありません。

 

今回も解説をスムーズにするため

$a^3+3a^2b+3ab^2+b^3=(a+b)^3$…①
$a^3-3a^2b+3ab^2-b^3=(a-b)^3$…②
$a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)$…③
$a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)$…④

とおきます。

(1)$8a^3+12a^2+6a+1$

$8a^3=(2a)^3$,$1=1^3$より、a→2a,b→1と仮定して公式①に当てはめられるか確かめます。

$3a^2b=3 \times (2a)^2 \times 1=12a^2$
$3ab^2=3 \times 2a \times 1^2=6a$

バッチリ当てはまりましたので

$8a^3+12a^2+6a+1=(2a+1)^3$

答え…$(2a+1)^3$

(2)$27x^3-27x^2+9x-1$

先ほどと同じく左右の項に注目しましょう。

$27x^3=(3x)^3$,$1=1^3$

なので公式②をa→3x,b→1で当てはまるか確かめてみます。

$3a^2b=3 \times (3x)^2 \times 1=27x^2$
$3ab^2=3 \times 3x \times 1^2=9x$

よって当てはまりましたね！したがって

$27x^3-27x^2+9x-1=(3x-1)^3$

答え…$(3x-1)^3$

 

(3)$8x^3+27y^3$

$8x^3=(2x)^3$,$27y^3=(3y)^3$より公式③が使えます。したがって

$8x^3+27y^3=(2x+3y)\{(2x)^2-2x \times 3y+(3y)^2\}$
$=(2x+3y)(4x^2-6xy+9y^2)$

答え…$(2x+3y)(4x^2-6xy+9y^2)$

(4)$125a^3-64b^3$

$125a^3=(5a)^3$,$64b^3=(4b)^3$より公式④が使えます。したがって

$125a^3-64b^3=(5a-4b)\{(5a)^2+5a \times 4b+(4b)^2\}$
$=(5a-4b)(25a^2+20ab+16b^2)$

答え…$(5a-4b)(25a^2+20ab+16b^2)$

 

応用問題にチャレンジ

$x^3+8y^3+27z^3-18xyz$

この分野で基礎を学んだ後にやるのがこのタイプの問題です。

とりあえず解いてみましょう。ただし、ただの解説じゃなくて実際に問題を解く感じで進めます。

 

とりあえず式変形をして因数分解できるか試行錯誤してみましょう。

なんとなく前ふたつの項$x^3+8y^3$に注目しましょう。

今回学んだ公式で式変形できるか考えてみます。

パッと思いつくのが

$x^3+8y^3=(x+2y)(x^2-2xy+4y^2)$

です。これを利用して

$x^3+8y^3+27z^3-18xyz=(x+2y)(x^2-2xy+4y^2)+27z^3-18xyz$

こう置けました。

考えたのが

$(x+2y)^3=x^3+6x^2y+12xy^2+8y^3$
$x^3+8y^3=(x+2y)^3-6x^2y-12xy^2=(x+2y)^3-6xy(x+2y)$

と置き換える方法。やってみます。

$x^3+8y^3+27z^3-18xyz=\{(x+2y)^3-6xy(x+2y)\}+27z^3-18xyz$
↓（{}を外す）
$=(x+2y)^3-6xy(x+2y)+27z^3-18xyz$
↓（-18xyzが6xyを含んでいるためカッコで括ってみる）
$=(x+2y)^3+27z^3-6xy\{(x+2y)+3z\}$

x+2yが二箇所ありますよね？A=x+2yと置いて見易くして進めていきましょう。

$(x+2y)^3+27z^3-6xy\{(x+2y)+3z\}$
$=A^3+27z^3-6xy(A+3z)$

なぜなら前二つの項を今回習った公式を使って

$A^3+27z^3=(A+3z)(A^2-3Az+9z^2)$

と因数分解できます。すると

$A^3+27z^3-6xy(A+3z)=(A+3z)(A^2-3Az+9z^2)-6xy(A+3z)$

$(A+3z)(A^2-3Az+9z^2)-6xy(A+3z)$
↓（(A+3z)を共通項として括って）
$=(A+3z)\{(A^2-3Az+9z^2-6xy\}$
↓（A=x+2yを戻して）
$=(x+2y+3z)\{(x+2y)^2-3(x+2y)z+9z^2-6xy\}$
↓（右の{}内を整理して）
$=(x+2y+3z)(x^2+4y^2+9z^2-2xy-6yz-3zx)$

答え…$(x+2y+3z)(x^2+4y^2+9z^2-2xy-6yz-3zx)$

実はこれ、公式を使っても解けます。

今回の問題では

a→x,b→2y,c→3z

と置けば成立します。

 

まとめ

後半の応用問題とかけっこう難しかったのではないでしょうか？

何度も言いますが、この手の分野は

『問題をひとつでも多く解くことが最大の近道』

です。