【高校数Ⅱ】式と証明「3次式の展開と因数分解」を元数学科が解説｜苦手克服

ジル

みなさんおはこんばんにちは。

最近茶カテキンに注目しているジルでございます！

すごい久しぶりに数学の記事を書きます。

これからは数学記事も再開する予定ですのでみなさんぜひご覧ください(● ˃̶͈̀ロ˂̶͈́)੭ꠥ⁾⁾

というわけで今回から『数Ⅱ』の世界に入ります。

まずは

『3次式』についての展開・因数分解

についての学習です。

この分野は大体決まった出題パターンがありますのでとりあえずそれを完璧にマスターすることから始めましょう。

3次式の展開
1. 練習問題
3次式の因数分解
1. 練習問題
応用問題にチャレンジ
まとめ

3次式の展開

まずは展開から学びましょう。

確実に覚えなければならない公式がいくつかあります。

《3次式の展開で確実に覚えなければならない公式その１》
$(a + b)^{3} = a^{3} + 3 a^{2} b + 3 a b^{2} + b^{3}$
$(a - b)^{3} = a^{3} - 3 a^{2} b + 3 a b^{2} - b^{3}$

ジル

ぶっちゃけ公式使わず直接展開できますが公式覚えておくとかなり時間削減できますので覚えておきましょう。どちらにせよ、のちに出る3次式の因数分解で覚えなければならないのでw

ちなみに $(a - b)^{3} = a^{3} - 3 a^{2} b + 3 a b^{2} - b^{3}$ に関しましては、上の公式のbを-bに置き換えただけですので最悪上の公式だけでも大丈夫です。ただこの分野を勉強していけば自然と覚えますのでご安心ください(^ ^)

《3次式の展開で確実に覚えなければならない公式その２》
$(a + b) (a^{2} - a b + b^{2}) = a^{3} + b^{3}$
$(a - b) (a^{2} + a b + b^{2}) = a^{3} - b^{3}$

その１よりも少し覚えにくいかもですね。

ジル

何回も公式を書いて書いて書きまくって覚えましょう！そのあとたくさん問題を解けば頭に刷り込まれます！

この分野では設問がこの公式に当てはめられるかを吟味することから始まります。

練習問題

(1) $(a + 3)^{3}$
(2) $(2 x - 5 y)^{3}$
(3) $(x + 3) (x^{2} - 3 x + 9)$
(4) $(2 x - 3 y) (4 x^{2} + 6 x y + 9 y^{2})$

やることは公式を使って解くだけです。もう慣れ。解いた数だけ実力がつきます。

解説を効率良くするために

$(a + b)^{3} = a^{3} + 3 a^{2} b + 3 a b^{2} + b^{3}$ …①
$(a - b)^{3} = a^{3} - 3 a^{2} b + 3 a b^{2} - b^{3}$ …②
$(a + b) (a^{2} - a b + b^{2}) = a^{3} + b^{3}$ …③
$(a - b) (a^{2} + a b + b^{2}) = a^{3} - b^{3}$ …④

とします。

《解答》

(1)こちらは①の公式を使って解きます。b→3のパターンですね！

$(a + 3)^{3} = a^{3} + 3 \times a^{2} \times 3 + 3 \times a \times 3^{2} + 3^{3}$
$= a^{3} + 9 a^{2} + 27 a + 27$

答え… $a^{3} + 9 a^{2} + 27 a + 27$

(2)こちらは②の公式を使って解きます。a→2x,b→5yのパターン。

$(2 x - 5 y)^{3} = (2 x)^{3} - 3 \times (2 x)^{2} \times 5 y + 3 \times 2 x \times (5 y)^{2} - (5 y)^{3}$
$= 8 x^{3} - 60 x^{2} y + 150 x y^{2} - 125 y^{3}$

答え… $8 x^{3} - 60 x^{2} y + 150 x y^{2} - 125 y^{3}$

(3)こちらは③の公式を使って解きます。a→x,b→3のパターン。

$(x + 3) (x^{2} - 3 x + 9) = x^{3} + 27$

答え… $x^{3} + 27$

(4)こちらは④の公式を使って解きます。a→2x,b→3yのパターン。

ジル

始めたての頃は少し複雑に感じるかもですね。でも慣れれば楽勝ですよ！

$(2 x - 3 y) (4 x^{2} + 6 x y + 9 y^{2}) = (2 x)^{3} - (3 y)^{3} = 8 x^{3} - 27 y^{3}$

答え… $8 x^{3} - 27 y^{3}$

3次式の因数分解

展開がひと段落したところで次に因数分解します。

とはいえ改めて覚える公式はありません。なぜなら使うのは先ほど学んだ「3次式の展開」の左辺と右辺を逆にしたものですから。

《3次式の因数分解で使う公式その1》
$a^{3} + 3 a^{2} b + 3 a b^{2} + b^{3} = (a + b)^{3}$
$a^{3} - 3 a^{2} b + 3 a b^{2} - b^{3} = (a - b)^{3}$

《3次式の因数分解で使う公式その２》
$a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - a b + b^{2})$
$a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$

ジル

3次式の展開と同じくこういうシンプルな分野については勉強法に近道はありません。『ひたすら問題を解く』これが一番いい。

練習問題

(1) $8 a^{3} + 12 a^{2} + 6 a + 1$
(2) $27 x^{3} - 27 x^{2} + 9 x - 1$
(3) $8 x^{3} + 27 y^{3}$
(4) $125 a^{3} - 64 b^{3}$

公式を使って解くだけです。特に難しいことはありません。

今回も解説をスムーズにするため

$a^{3} + 3 a^{2} b + 3 a b^{2} + b^{3} = (a + b)^{3}$ …①
$a^{3} - 3 a^{2} b + 3 a b^{2} - b^{3} = (a - b)^{3}$ …②
$a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - a b + b^{2})$ …③
$a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ …④

とおきます。

ジル

①、②について私が取り掛かる際最初に考えることは

左辺の両端 $a^{3}, b^{3}$ に設問を当てはめて、真ん中の $3 a^{2} b, 3 a b^{2}$ も当てはめられるか確かめる。

(1) $8 a^{3} + 12 a^{2} + 6 a + 1$

$8 a^{3} = (2 a)^{3}$ , $1 = 1^{3}$ より、a→2a,b→1と仮定して公式①に当てはめられるか確かめます。

$3 a^{2} b = 3 \times (2 a)^{2} \times 1 = 12 a^{2}$
$3 a b^{2} = 3 \times 2 a \times 1^{2} = 6 a$

バッチリ当てはまりましたので

$8 a^{3} + 12 a^{2} + 6 a + 1 = (2 a + 1)^{3}$

答え… $(2 a + 1)^{3}$

(2) $27 x^{3} - 27 x^{2} + 9 x - 1$

先ほどと同じく左右の項に注目しましょう。

$27 x^{3} = (3 x)^{3}$ , $1 = 1^{3}$

なので公式②をa→3x,b→1で当てはまるか確かめてみます。

$3 a^{2} b = 3 \times (3 x)^{2} \times 1 = 27 x^{2}$
$3 a b^{2} = 3 \times 3 x \times 1^{2} = 9 x$

よって当てはまりましたね！したがって

$27 x^{3} - 27 x^{2} + 9 x - 1 = (3 x - 1)^{3}$

答え… $(3 x - 1)^{3}$

(3) $8 x^{3} + 27 y^{3}$

$8 x^{3} = (2 x)^{3}$ , $27 y^{3} = (3 y)^{3}$ より公式③が使えます。したがって

$8 x^{3} + 27 y^{3} = (2 x + 3 y) {(2 x)^{2} - 2 x \times 3 y + (3 y)^{2}}$
$= (2 x + 3 y) (4 x^{2} - 6 x y + 9 y^{2})$

答え… $(2 x + 3 y) (4 x^{2} - 6 x y + 9 y^{2})$

(4) $125 a^{3} - 64 b^{3}$

$125 a^{3} = (5 a)^{3}$ , $64 b^{3} = (4 b)^{3}$ より公式④が使えます。したがって

$125 a^{3} - 64 b^{3} = (5 a - 4 b) {(5 a)^{2} + 5 a \times 4 b + (4 b)^{2}}$
$= (5 a - 4 b) (25 a^{2} + 20 a b + 16 b^{2})$

答え… $(5 a - 4 b) (25 a^{2} + 20 a b + 16 b^{2})$

応用問題にチャレンジ

$x^{3} + 8 y^{3} + 27 z^{3} - 18 x y z$

この分野で基礎を学んだ後にやるのがこのタイプの問題です。

とりあえず解いてみましょう。ただし、ただの解説じゃなくて実際に問題を解く感じで進めます。

苦戦しつつ調べるあざらし

形を見る限り、さっきみたいに公式に当てはめてパパッと解ける感じはしないなぁ…

とりあえず式変形をして因数分解できるか試行錯誤してみましょう。

なんとなく前ふたつの項 $x^{3} + 8 y^{3}$ に注目しましょう。

今回学んだ公式で式変形できるか考えてみます。

パッと思いつくのが

$x^{3} + 8 y^{3} = (x + 2 y) (x^{2} - 2 x y + 4 y^{2})$

です。これを利用して

$x^{3} + 8 y^{3} + 27 z^{3} - 18 x y z = (x + 2 y) (x^{2} - 2 x y + 4 y^{2}) + 27 z^{3} - 18 x y z$

こう置けました。

苦戦しつつ調べるあざらし

ここからどうするんや？

ジル

えーっと、これ以上進めても答えに辿り着けそうにないのでここで終わりにしましょう。他の解法を考えてみます。

考えたのが

$(x + 2 y)^{3} = x^{3} + 6 x^{2} y + 12 x y^{2} + 8 y^{3}$
$x^{3} + 8 y^{3} = (x + 2 y)^{3} - 6 x^{2} y - 12 x y^{2} = (x + 2 y)^{3} - 6 x y (x + 2 y)$

と置き換える方法。やってみます。

ジル

何事も試行錯誤が大事です。思いつく限りのことをやってみよう(● ˃̶͈̀ロ˂̶͈́)੭ꠥ⁾⁾

$x^{3} + 8 y^{3} + 27 z^{3} - 18 x y z = {(x + 2 y)^{3} - 6 x y (x + 2 y)} + 27 z^{3} - 18 x y z$
↓（{}を外す）
$= (x + 2 y)^{3} - 6 x y (x + 2 y) + 27 z^{3} - 18 x y z$
↓（-18xyzが6xyを含んでいるためカッコで括ってみる）
$= (x + 2 y)^{3} + 27 z^{3} - 6 x y {(x + 2 y) + 3 z}$

ジル

ここまでみてどうですか？私はここで『お？これいけるかも？？』って思いました。経験上なんとなく因数分解できそうな気がしたからです。

x+2yが二箇所ありますよね？A=x+2yと置いて見易くして進めていきましょう。

$(x + 2 y)^{3} + 27 z^{3} - 6 x y {(x + 2 y) + 3 z}$
$= A^{3} + 27 z^{3} - 6 x y (A + 3 z)$

ジル

ここまできて私は『よっしゃこれいけるべ！』ってなりました。

なぜなら前二つの項を今回習った公式を使って

$A^{3} + 27 z^{3} = (A + 3 z) (A^{2} - 3 A z + 9 z^{2})$

と因数分解できます。すると

$A^{3} + 27 z^{3} - 6 x y (A + 3 z) = (A + 3 z) (A^{2} - 3 A z + 9 z^{2}) - 6 x y (A + 3 z)$

ジル

キタ！A+3zが共通項で因数分解できるではないですか( ^ω^ )

$(A + 3 z) (A^{2} - 3 A z + 9 z^{2}) - 6 x y (A + 3 z)$
↓（(A+3z)を共通項として括って）
$= (A + 3 z) {(A^{2} - 3 A z + 9 z^{2} - 6 x y}$
↓（A=x+2yを戻して）
$= (x + 2 y + 3 z) {(x + 2 y)^{2} - 3 (x + 2 y) z + 9 z^{2} - 6 x y}$
↓（右の{}内を整理して）
$= (x + 2 y + 3 z) (x^{2} + 4 y^{2} + 9 z^{2} - 2 x y - 6 y z - 3 z x)$