【高校数学】正弦定理・余弦定理を使って問題を解く【苦手克服】｜基礎

今回は前回の記事で紹介した正弦定理・余弦定理がどう役立つか練習問題を交えながら解説したいと思います。

今記事では基礎問題を取り上げます。

 

【高校数I】正弦定理・余弦定理を元数学科が解説する【苦手克服】

今回は【高校数学】【数I】『図形と計量』において大変重要な公式「正弦定理」「余弦定理」の解説記事です。定理の解説と、なぜこの定理が成り立つのか証明しました。

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2021.03.02

 

 

△ABCにおいて、次の値を求めなさい。

 

 

（１）c=3、$\mathrm{\angle }C=45°$の時、△ABCの外接円の半径R

 

正弦定理より

$\frac{c}{\sin C}=2R$が成立します。すなわち

$\frac{3}{\sin 45°}=2R$

⇩（$\sin 45°=\frac{1}{\sqrt{2}}$）

$\frac{3}{\frac{1}{\sqrt{2}}}=2R$

⇩（両辺×$\frac{1}{\sqrt{2}}$）

$3=2R\times \frac{1}{\sqrt{2}}$

⇩（式変形）

$3=\sqrt{2}R$

⇩（式変形）

$R=\frac{3\sqrt{2}}{2}$

 

 

（２）a=2、b=$\sqrt{6}$、c=$1+\sqrt{3}$の時、$\mathrm{\angle }A$

 

余弦定理より

$a^2=b^2+c^2-2bc\cos A$なので

$2^2=(\sqrt{6}{)}^2+(1+\sqrt{3}{)}^2-2\times \sqrt{6}\times (1+\sqrt{3})\times \cos A$

⇩（展開）

$4=6+1+2\sqrt{3}+3-2\sqrt{6}(1+\sqrt{3})\cos A$

⇩（式変形）

$4=10+2\sqrt{3}-2(\sqrt{6}+3\sqrt{2})\cos A$

⇩（式変形）

$2(\sqrt{6}+3\sqrt{2})\cos A=2(3+\sqrt{3})$

⇩（式変形）

$\cos A=\frac{2(3+\sqrt{3})}{2(\sqrt{6}-3\sqrt{2})}$

⇩（式変形）

$\cos A=\frac{3+\sqrt{3}}{\sqrt{6}-\sqrt{18}}$

⇩（式変形）

$\cos A=\frac{\sqrt{3}(\sqrt{3}+1}{\sqrt{3}(\sqrt{2}-\sqrt{6})}$

⇩（式変形）

$\cos A=\frac{\sqrt{3}+1}{\sqrt{6}+\sqrt{2}}$

⇩（式変形）

$\cos A=\frac{(\sqrt{3}+1)(\sqrt{6}-\sqrt{2})}{(\sqrt{6}+\sqrt{2})(\sqrt{6}-\sqrt{2})}$

⇩（式変形）

（右辺）=$\frac{3\sqrt{2}-\sqrt{6}+\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}=\frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{1}{\sqrt{2}}$

 

よって

$\cos A=\frac{1}{\sqrt{2}}$

したがって$\mathrm{\angle }A=45°$

 

 

最後に

今回取り上げた問題はとりあえず正弦定理・余弦定理に当てはめさえすれば解ける問題です。

もう少し難しめの問題にもチャレンジしたいと思いますのでまた来てくださいね！