【高校数I】二次不等式の問題を元数学科が解説する【苦手克服】｜応用編②

ジル

みなさんおはこんばんにちは。

新しい加湿器を買おうか検討しているジルでございます！

前回に引き続き二次不等式の応用問題を解説します。

今回は少し難しめの問題になっております。

頑張ってついてきてくださいね！

$y=x^2+2kx+2k^2-k+1(k\mathrm{は}\mathrm{正}\mathrm{の}\mathrm{定}\mathrm{数})$について

頂点を$k$を用いて表しなさい。

まずは平方完成しましょう。もし忘れた方は下の記事を一度ご覧ください。

【高校数I】二次関数軸・頂点を元数学科が解説します。

数Iで学ぶ二次関数の問題においてまず理解するべきなのは、軸・頂点の求め方です。二次関数を学ぶ方はみなさんぜひ理解して頂きたいところです。数学が苦手な方にも分かりやすい解説を心がけて記事を作りましたのでぜひご覧ください。

www.zilleblog.com

2020.08.20

$y=\{(x^2+2kx+k^2)-k^2\}+2k^2-k+1=(x+k{)}^2+k^2-k+1$

したがって頂点は$(-k,k^2-k+1)$

$-1\leqq x\leqq 1$の時、最小値が$２k$となる時の$k$の値を全て求めなさい

こちらを解きます。

パッと見けっこう難しそうですよね？こういう時まずはわかる限りの情報を集めるところから始めます。

ジル

テンプレな解き方はありません。泥臭くてもいいのでできる限り情報を集めて、その中で使えそうなものを見つけましょう。

・頂点の範囲を考えてみます。

$x$座標について
$-k$は、$k$が正であるため$-k<0$

$y$座標について
$k^2-k+1=(k-\frac{1}{2}{)}^2+\frac{3}{4}$

$(k-\frac{1}{2}{)}^2\geqq 0$のため、

$k^2-k+1=(k-\frac{1}{2}{)}^2+\frac{3}{4}>0$

ということで今回の二次関数の頂点は(負,正)なんです。

したがって今回考えるグラフのパターンは

となります。

各場合を考えましょう。

①$-1\leqq -k<0$即ち、$0<k\leqq 1$の時

最小値は次の点です。

なので

$k^2-k+1=2k$が成立します。これを解くと

$k^2-3k+1=0$

ジル

解の公式を使いましょう！

$k=\frac{-(-3)\pm \sqrt{(-3{)}^2-4\times 1\times 1}}{2\times 1}=\frac{3\pm \sqrt{5}}{2}$

ジル

ここですぐに答えとしてはいけません。条件を満たしているか確認する必要があります。

最初に$0<k\leqq 1$であると言いましたね？

$$\frac{3\pm \sqrt{5}}{2}$$

がこの条件を満たしているか確認する必要があります。

注目すべきは$2^2<(\sqrt{5}{)}^2<3^2$ですね？なので$2<\sqrt{5}<3$であります。

それを踏まえて見てみましょう！

したがって答えに適しておりません。

したがって適しております。

②$-k<-1$即ち、$k>1$の時

最小値は次の点です。

つまり$x=-1$の時最小値$2k$をとります。

なので$y=x^2+2kx+2k^2-k+1$に$x=-1$、$y=2k$を代入できます。

$2k=(-1{)}^2-2k+2k^2-k+1$

$2k^2-5k+2=0$

$(2k-1)(k-2)=0$

$k=\frac{1}{2},2$

$k>1$を満たすのは$k=2$

以上のことから答えは、$\frac{３-\sqrt{5}}{2}$、$2$

最後に

今回はなかなかに難しい問題をやりました。

次回からはしばらく『図形と計量』の分野を記事にしようかと思っています。

ジル

楽しい数学Lifeを！