【高校数I】二次不等式の問題を元数学科が解説する【苦手克服】｜応用編①

ジル

みなさんおはこんばんにちは。

最近加湿器を使いだしたジルでございます！

今回は二次不等式の応用問題を解説します。

基礎、基本問題の記事も書いてありますので、基礎に不安のある方はご覧ください。

【高校数I】二次不等式の基礎を元数学科が詳しく解説する｜苦手克服

みなさん二次不等式は理解していますか？不等式は方程式に比べると少し複雑かもです。そこで今回は二次不等式の基礎部分をひらすら丁寧に解説してみました。不安な方はぜひご覧ください！

【高校数I】二次不等式の問題を元数学科が解説する【苦手克服】｜基本編

今記事は【高校数学】【数I】『二次不等式』の基本問題の解説記事になります。基礎の中の基礎になる問題です。確実に解けるようにしましょう。苦手な方向けに解き方の手順も記載しました。ぜひご覧ください。

ではいきます。

次の二次不等式を満たす整数 $x$ を求めなさい。
1. $２ x^{2} + 3 x - 9 ≦ 0$
2. $x^{2} - 4 x + 3 < 0$
$y = x^{2} + 2 k x - k + 2$ が $y$ の値が常に正の時、定数 $k$ の範囲を求めなさい。
1. 解①（二次関数の頂点から求める）
2. 解②（判別式から求める）
最後に

次の二次不等式を満たす整数 $x$ を求めなさい。

まずはこちら。ポイントなのは『整数』ということです。

$２ x^{2} + 3 x - 9 ≦ 0$

まずはこの二次方程式についての情報を集めましょう。

・ $x^{2}$ の係数は2のため、これは下に凸。
・左辺の判別式は、 $D = 3^{2} - 4 \times 2 \times (- 9) = 9 + 72 = 81 > 0$ 。よって $x$ 軸との交点は２つ。
・ $2 x^{2} + 3 x - 9 = 0$ を解くと、
$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{3^{2} - 4 \times 2 \times (- 9)}}{2 \times 2} = \frac{- 3 \pm \sqrt{81}}{4} = \frac{- 3 \pm 9}{4}$

したがって $x = \frac{3}{2}, - 3$

これらをまとめると次のようなグラフになります。

今回はあくまで”整数”なので

つまり $x = - 3, - 2, - 1, 0, 1$

$x^{2} - 4 x + 3 < 0$

さて情報収集しよっか！

・ $x^{2}$ の係数は1のためこの二次不等式は下に凸。
・左辺の判別式 $D = (- 4)^{2} - 4 \times 1 \times 3 = 4 > 0$ 。つまり $x$ 軸との交点は２つ。
・ $x^{2} - 4 x + 3 = 0$ を解くと、 $(x - 3) (x - 1) = 0$ つまり $x = 1, 3$ 。