【高校数I】二次不等式の基礎を元数学科が詳しく解説する｜苦手克服

ジル

みなさんおはこんばんにちは！

花粉でくしゃみが結構出るジルでございます。

今回は二次不等式について解説します。

グラフの画像を使いながら分かりやすい記事にしましたので最後までご覧ください！

二次不等式の解
最後に

二次不等式の解

$y = a x^{2} + b x + c$ について解を考えます。

$a$ の正負で変わってきますのでそれぞれ分けて解説します！

ジル

最後にまとめますね( ^ω^ )

$a > 0$

こういうグラフの場合ですね！

判別式別に考えます。

$D > 0 の場合$

この場合、次のグラフのように交点が2つあるパターンになります。

今回この2つの交点の $x$ 座標をそれぞれ $p$ 、 $q$ と置きます。

次の3パターンの場合を考えます。

（ⅰ） $a x^{2} + b x + c > 0$

（ⅱ） $a x^{2} + b x + c = 0$

（ⅲ） $a x^{2} + b x + c < 0$

（ⅰ） $a x^{2} + b x + c > 0$

$y = a x^{2} + b x + c > 0$ ということなので、 $y > 0$ の部分になります。

これはグラフを見れば明らかで、青色の部分になります。

つまりこれを満たす $x$ の範囲は、 $x < p$ 、 $q < x$

（ⅱ） $a x^{2} + b x + c = 0$

こちらはグラフの青色の部分になります。

つまりこれを満たす $x$ の範囲は、 $x = p, q$

（ⅲ） $a x^{2} + b x + c < 0$

こちらはグラフの青色が付いている部分になります。

つまりこれを満たす $x$ の範囲は、 $p < x < q$

$D = 0 の場合$

この場合次のグラフのように交点が1つになります。

$x$ 軸と二次関数 $y = a x^{2} + b x + c$ との接点の $x$ 座標を $p$ と置きます。

では先ほどと同様に次の3パターンの場合を考えます。

（ⅰ） $a x^{2} + b x + c > 0$

（ⅱ） $a x^{2} + b x + c = 0$

（ⅲ） $a x^{2} + b x + c < 0$

（ⅰ） $a x^{2} + b x + c > 0$

青色が付いている部分になります。

つまりこれを満たす $x$ の範囲は、 $x = p 以外の全て$

（ⅱ） $a x^{2} + b x + c = 0$

こちらはグラフの青色が付いている部分になります。

つまりこれを満たす $x$ の範囲は、 $x = p$

（ⅲ） $a x^{2} + b x + c < 0$

グラフを見てもらうと分かりますが、 $y = a x^{2} + b x + c < 0$ を満たす部分がありません。

$D < 0 の場合$

この場合は $x$ 軸との交点はありません。

（ⅰ） $a x^{2} + b x + c > 0$

（ⅱ） $a x^{2} + b x + c = 0$

（ⅲ） $a x^{2} + b x + c < 0$

で考えてみましょう！

とはいうものの、グラフ見て分かる通り、全部（ⅰ）なんですね！なので全範囲において（ⅰ）です。