みなさんおはこんばんにちは！
花粉でくしゃみが結構出るジルでございます。
今回は二次不等式について解説します。
グラフの画像を使いながら分かりやすい記事にしましたので最後までご覧ください！
二次不等式の解
$y=ax^2+bx+c$について解を考えます。
$a$の正負で変わってきますのでそれぞれ分けて解説します！
最後にまとめますね( ^ω^ )
$a \gt 0$
こういうグラフの場合ですね！
判別式別に考えます。
$D \gt 0の場合$
この場合、次のグラフのように交点が2つあるパターンになります。
今回この2つの交点の$x$座標をそれぞれ$p$、$q$と置きます。
次の3パターンの場合を考えます。
（ⅰ）$ax^2+bx+c \gt 0$
（ⅱ）$ax^2+bx+c = 0$
（ⅲ）$ax^2+bx+c \lt 0$
（ⅰ）$ax^2+bx+c \gt 0$
$y=ax^2+bx+c \gt 0$ということなので、$y \gt 0$の部分になります。
これはグラフを見れば明らかで、青色の部分になります。
つまりこれを満たす$x$の範囲は、$x \lt p$、$q \lt x$
（ⅱ）$ax^2+bx+c = 0$
こちらはグラフの青色の部分になります。
つまりこれを満たす$x$の範囲は、$x=p,q$
（ⅲ）$ax^2+bx+c \lt 0$
こちらはグラフの青色が付いている部分になります。
つまりこれを満たす$x$の範囲は、$p \lt x \lt q$
$D = 0の場合$
この場合次のグラフのように交点が1つになります。
$x$軸と二次関数$y=ax^2+bx+c$との接点の$x$座標を$p$と置きます。
では先ほどと同様に次の3パターンの場合を考えます。
（ⅰ）$ax^2+bx+c \gt 0$
（ⅱ）$ax^2+bx+c = 0$
（ⅲ）$ax^2+bx+c \lt 0$
（ⅰ）$ax^2+bx+c \gt 0$
青色が付いている部分になります。
つまりこれを満たす$x$の範囲は、$x=p以外の全て$
（ⅱ）$ax^2+bx+c = 0$
こちらはグラフの青色が付いている部分になります。
つまりこれを満たす$x$の範囲は、$x=p$
（ⅲ）$ax^2+bx+c \lt 0$
グラフを見てもらうと分かりますが、$y=ax^2+bx+c \lt 0$を満たす部分がありません。
$D \lt 0の場合$
この場合は$x$軸との交点はありません。
（ⅰ）$ax^2+bx+c \gt 0$
（ⅱ）$ax^2+bx+c = 0$
（ⅲ）$ax^2+bx+c \lt 0$
で考えてみましょう！
とはいうものの、グラフ見て分かる通り、全部（ⅰ）なんですね！なので全範囲において（ⅰ）です。
$a \lt 0$
こういうグラフの場合ですね！
判別式別に考えます。
$D \gt 0の場合$
この場合、次のグラフのように交点が2つあるパターンになります。
今回この2つの交点の$x$座標をそれぞれ$p$、$q$と置きます。
次の3パターンの場合を考えます。
（ⅰ）$ax^2+bx+c \gt 0$
（ⅱ）$ax^2+bx+c = 0$
（ⅲ）$ax^2+bx+c \lt 0$
（ⅰ）$ax^2+bx+c \gt 0$
これを満たす範囲は青色の付いた部分ですね！
したがって、$p \leqq x \leqq q$
（ⅱ）$ax^2+bx+c = 0$
この場合は青色の付いた部分ですね
したがって $x=p,q$
（ⅲ）$ax^2+bx+c \lt 0$
次の部分ですね。
したがって$x \lt p$、$q \lt x$
$D = 0の場合$
この場合次のグラフのように交点が1つになります。
$x$軸と二次関数$y=ax^2+bx+c$との接点の$x$座標を$p$と置きます。
では先ほどと同様に次の3パターンの場合を考えます。
（ⅰ）$ax^2+bx+c \gt 0$
（ⅱ）$ax^2+bx+c = 0$
（ⅲ）$ax^2+bx+c \lt 0$
（ⅰ）$ax^2+bx+c \gt 0$
これを満たす部分はありません！
（ⅱ）$ax^2+bx+c = 0$
こちらの、青色が付いた部分になります。
したがって$x=p$
（ⅲ）$ax^2+bx+c \lt 0$
はいこの部分です！
したがって、$p \lt x$、$x \lt q$
$D \lt 0の場合$
この場合は$x$軸との交点はありません。
（ⅰ）$ax^2+bx+c \gt 0$
（ⅱ）$ax^2+bx+c = 0$
（ⅲ）$ax^2+bx+c \lt 0$
で考えてみましょう！
とはいうものの、グラフ見て分かる通り、全部（ⅲ）なんですね！なので全範囲において（ⅲ）です。
二次不等式の範囲のまとめ
$y=ax^2+bx+c$について
$a \gt 0$
| 判別式 | $D \gt 0$ | $D=0$ | $D \lt 0$ |
|---|---|---|---|
| $ax^2+bx+c=0の実数解$ | $x=p,q$ | $x=p$ | なし |
| $ax^2+bx+c \gt 0の解$ | $x \lt p,q \lt x$ | $x \lt p$,$p \lt x$ | すべて |
| $ax^2+bx+c=0の解$ | $x=p,q$ | $x=p$ | なし |
| $ax^2+bx+c \lt 0の解$ | $p \lt x \lt q$ | なし | なし |
$a \lt 0$
| 判別式 | $D \gt 0$ | $D=0$ | $D \lt 0$ |
|---|---|---|---|
| $ax^2+bx+c=0の実数解$ | $x=p,q$ | $x=p$ | なし |
| $ax^2+bx+c \gt 0の解$ | $p \lt x \lt q$ | なし | なし |
| $ax^2+bx+c=0の解$ | $x=p,q$ | $x=p$ | なし |
| $ax^2+bx+c \lt 0の解$ | $x \lt p,q \lt x$ | $x \lt p$,$p \lt x$ | すべて |
最後に
今回は長々と二次不等式について解説しました。
次回から実際に問題を解いていきたいと思います。
