根号を含む式の基礎を確認しよう【苦手克服】［ 数I ］

今回は根号（ルート）を含む式についての基礎を確認していきたいと思います。

$\sqrt{2}$ のような項を含む式ですね( ^ω^ )

そんなに難しいものでもないのでぜひ得意分野にしていただきたい！

この記事では

基礎の確認

公式に入る前に、大前提のお話をします。
$\sqrt{ }$ の中の数は絶対に正の数です。

また、$\sqrt{}$ 自身も正の数です。

これを頭に入れておいてください。

ただしあくまでも「今は」というお話。数Ⅱでは$\sqrt{}$ の中が負の数になるパターンも学びます。

最低限覚えておくべき公式

①${\left(\sqrt{a}\right)}^2$ = a　a≧0

②$\sqrt{a²}$ = a　a≧0

③$\sqrt{a²}$ = −a　a<0

まずはこの３つ。どの公式にも赤のアンダーラインのような条件がついています。

この条件は絶対必要で、例えばもし①においてa<0を許してしまうと、$\sqrt{}$ の中が負の数になってしまうためアウトです。（先ほどお話しした大前提のことです。）

次の公式はこちら

④$k_1\sqrt{a}\pm k_2\sqrt{a}$ = $(k_1\pm k_2)\sqrt{a}$　a>0 

⑤$\sqrt{a}\times \sqrt{b}$ = $\sqrt{ab}$　a>0 b>0

⑥$\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}=\sqrt{\frac{a}{b}}$　　　a>0 b>0

⑦$\sqrt{k²a}=k\sqrt{a}$　a>0 k>0

①〜⑦は根号の式を解く上で重要なことなので覚えておきましょう。

練習問題

いくつか問題を解いてみましょう。

（１）$\sqrt{3}\sqrt{5}$

（２）$\sqrt{3}\sqrt{8}$

（３）$\frac{\sqrt{24}}{\sqrt{6}}$

（４）$3\sqrt{2}+\sqrt{50}-\sqrt{18}$

（５）$\sqrt{6}(\sqrt{2}-\sqrt{3})$

（６）$\sqrt{3}(\sqrt{18}-\sqrt{6}+\sqrt{27})$

この６問を解いてみましょう。

 

私ジルの考え方

 

❶各項について公式の⑦ができるか考えます。その方が式がシンプルになり計算しやすいです。

❷①〜⑥の公式を利用して解いていきます。

❸導いた答えで⑦が使えるかチェックする。

 

こんなところですかね。

ただし、問題によっては違う手順で解いた方が早い場合もあります。

たくさんの問題をこなすことで、問題ごとに最適な解き方が見えてくるでしょう。

慣れていないうちは、❶〜❸の手順で解いていくと良いです。

答え合わせ

では早速解いていきましょう！

（１）$\sqrt{3}\sqrt{5}$

❶$\sqrt{3}$、$\sqrt{5}$ともに⑦の変換はできないため❷に進みます。

❷公式⑤を利用します。

 

　$\sqrt{3}\sqrt{5}$ = $\sqrt{3\times 5}$ = $\sqrt{15}$　　　終

❸$\sqrt{15}$に⑦は使えそうにないためこれで終わりです。

（２）$\sqrt{3}\sqrt{8}$

❶$\sqrt{8}$に注目してみてください。

8 = 2²×2 ですね？つまり⑦が使えます！

変換してみましょう。

$\sqrt{3}\sqrt{8}$ = $\sqrt{3}\times \sqrt{8}$ =$\sqrt{3}\times \sqrt{2^2\times 2}$ = $\sqrt{3}\times 2\sqrt{2}$

となります。

ここで一つ確認。

ルートの外は外同士、中は中同士で掛け算・割り算をします！

したがって

$\sqrt{3}\sqrt{8}$ = $\sqrt{3}\times 2\sqrt{2}$ =$2\sqrt{3\times 2}$ =$2\sqrt{6}$　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　終

 

（３）$\frac{\sqrt{24}}{\sqrt{6}}$

まずは❶から❸の手順で解いていくパターンをやっていき、あとで別解を教えます。正直こちらの方がスッキリ解けます。

ではやっていきましょう！

解１（❶から❸の手順）

❶$\sqrt{6}$には使えませんが、$\sqrt{24}$には使えます。

　$\sqrt{24}=\sqrt{2^2\times 6}=2\sqrt{6}$

したがって、次のように変換できます。

　$\frac{\sqrt{24}}{\sqrt{6}}=\frac{2\sqrt{6}}{\sqrt{6}}$

❷分数なので、⑤が使えそうです。

また、先ほど教えたようにルートの外同士、中同士で計算します。

したがって

 

$\frac{\sqrt{24}}{\sqrt{6}}=\frac{2\sqrt{6}}{\sqrt{6}}=2\sqrt{\frac{6}{6}}=2$　　　　　　　　　　　　　　　　　　　終

 

解２

実はこれ、最初から公式⑤を使えば簡単に解けます。

$\frac{\sqrt{24}}{\sqrt{6}}=\sqrt{\frac{24}{6}}=\sqrt{4}=\sqrt{2^2}=2$     　　　　　　　　　　　　　　　　　終    

 

（４）$3\sqrt{2}+\sqrt{50}-\sqrt{18}$

 

 

❶$\sqrt{50}$と$\sqrt{18}$に⑥が使えますね！

　$\sqrt{50}=\sqrt{5^2\times 2}=5\sqrt{2}$

　$\sqrt{18}=\sqrt{3^2\times 2}=3\sqrt{2}$

したがって次のように変換できます。

　$3\sqrt{2}+\sqrt{50}-\sqrt{18}=3\sqrt{2}+5\sqrt{2}-3\sqrt{2}$

 

❷今回の問題は全ての項のルートの中は全て２ですね？

よって④の性質によって計算できます。

したがって

　$3\sqrt{2}+\sqrt{50}-\sqrt{18}=3\sqrt{2}+5\sqrt{2}-3\sqrt{2}=5\sqrt{2}$　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　終

 

（５）$\sqrt{6}(\sqrt{2}-\sqrt{3})$

 

では解いていきましょう。

❶今回は各項も適用できなさそうです。

❷公式⑤を使って解きます。

 

　$\sqrt{6}(\sqrt{2}-\sqrt{3})=\sqrt{6\times 2}-\sqrt{6\times 3}=\sqrt{12}-\sqrt{18}$

これで終わりではありません。

❸$\sqrt{ 12 }$、$\sqrt{ 18 }$ともに⑦を使えばもう少し変形できます。

$\sqrt{12}=\sqrt{2^2\times 2}=2\sqrt{2}$

　$\sqrt{18}=\sqrt{3^2\times 2}=3\sqrt{2}$

さて両方ともルートの中が２ですね？よってもっと簡単になります！

 

　$\sqrt{6}(\sqrt{2}-\sqrt{3})=\sqrt{6\times 2}-\sqrt{6\times 3}=\sqrt{12}-\sqrt{18}=-\sqrt{2}$　　　　　　終

 

（６）$\sqrt{3}(\sqrt{18}-\sqrt{6}+\sqrt{27})$

 

では解いていきましょう。

（１）〜（５）の経験を活かせば解けます。今回は直接解いてみますね！

　$\sqrt{3}(\sqrt{18}-\sqrt{6}+\sqrt{27})=\sqrt{3}(3\sqrt{2}-\sqrt{6}+3\sqrt{3})=3\sqrt{6}-\sqrt{18}+3\sqrt{9})$

= $3\sqrt{6}-3\sqrt{2}+9$　　　　　　　　　　　　　　　　　終

 

最後に

今回は根号を含む式の導入部分を書きました。

次は「有理化」についての記事を書こうと思います。

ではではみなさん頑張ってください！