分母の有理化についてジルが詳しく解説していく【苦手克服】[ 数I ]

ジル

みなさんこんにちは、ジルでございます！

今回は高校数学にて学ぶ根号を含む式において必要不可欠な『有理化』に焦点を絞ってみます。

この章が苦手な方はこの辺りが関門になるのではないでしょうか？

以前に根号を含む式の基礎部分の記事を書きましたのでよかったらご覧ください( ^ω^ )

根号を含む式の基礎を確認しよう【苦手克服】［数I ］

本記事では高校数学で学ぶ『根号を含む式』の基礎部分を学んでいきます。点数がとりやすい分野だと思いますのでみなさんもぜひ得意になりましょう。後半はいくつか練習問題を解いていきます。有理化を学ぶ前の内容になります。

『有理化』の定義
手法
練習問題
最後に

『有理化』の定義

まずは分母の有理化の定義から。

「分数において、分母に根号を含んでいた場合、根号を含まないように変形する」ことです。

分母に根号を含んでいると、分数同士で足したり引いたりするのに支障をきたしてしまいます。

よってこの考え方は、本分野では必須です。確実に身につけましょう。

手法

$\sqrt{a} \times \sqrt{a} = a$ と $(a + b) (a - b) = a^{2} - b^{2}$

を利用します。

① $\frac{1}{\sqrt{a}}$ の場合

$\frac{1}{\sqrt{a}} \times \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{a}} = \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{a} \times \sqrt{a}} = \frac{\sqrt{a}}{a}$ a > 0

② $\frac{1}{\sqrt{a} + \sqrt{b}}$ の場合

$\frac{1}{\sqrt{a} + \sqrt{b}} \times \frac{\sqrt{a} - \sqrt{b}}{\sqrt{a} - \sqrt{b}} = \frac{\sqrt{a} - \sqrt{b}}{(\sqrt{a} + \sqrt{b}) ((\sqrt{a} - \sqrt{b})} = \frac{\sqrt{a} - \sqrt{b}}{{(\sqrt{a})}^{2} - {(\sqrt{b})}^{2}} = \frac{\sqrt{a} - \sqrt{b}}{a - b}$ 　a>0 b>0

$\frac{1}{\sqrt{a} - \sqrt{b}}$ の場合

先ほどの変形のようにすればできます。みなさんぜひやってみてください。

こちらには最終結果のみ書きますね！

$\frac{1}{\sqrt{a} - \sqrt{b}} = \frac{\sqrt{a} + \sqrt{b}}{a - b}$ 　a>0 b>0

練習問題

（１） $\frac{4}{\sqrt{10}}$

（２） $\frac{3}{\sqrt{3} + \sqrt{5}}$

（３） $\frac{\sqrt{3} + 1}{\sqrt{3} - 1}$

基礎的な問題をやってみましょう。

今後はもう少し難しい問題も記事にしてみようとも考えております。

解説

（１） $\frac{4}{\sqrt{10}}$

①を利用しましょう。

$\frac{4}{\sqrt{10}} \times \frac{\sqrt{10}}{\sqrt{10}} = \frac{4 \sqrt{10}}{10} = \frac{2 \sqrt{10}}{5}$ 　　　　　終

（２） $\frac{3}{\sqrt{3} + \sqrt{5}}$

②を利用しましょう。

$\frac{3}{\sqrt{3} + \sqrt{5}} \times \frac{\sqrt{3} - \sqrt{5}}{\sqrt{3} - \sqrt{5}} = \frac{3 (\sqrt{3} - \sqrt{5})}{3 - 5} = - \frac{3 (\sqrt{3} - \sqrt{5})}{2}$ 　　　終

（３） $\frac{\sqrt{3} + 1}{\sqrt{3} - 1}$

②を利用します。

$\frac{\sqrt{3} + 1}{\sqrt{3} - 1} \times \frac{\sqrt{3} + 1}{\sqrt{3} + 1} = \frac{{(\sqrt{3} + 1)}^{2}}{(\sqrt{3} - 1) \times (\sqrt{3} + 1)} = \frac{(3 + 2 \sqrt{3} + 1)}{2} = \frac{4 + 2 \sqrt{3}}{2} = 2 + \sqrt{3}$ 　　　終