【高校数I】二次方程式の問題を元数学科が解説【苦手克服】｜基礎編

前回まで二次方程式に関する解説記事を書いてきました。

今回は実践編です！

解の公式と判別式を利用する問題をやります。

もし不安な方は、記事を貼っておきますのでご覧ください！

 

【高校数I】二次方程式の基礎を元数学科が解説【苦手克服】

今記事は【高校数I】【二次方程式】の基礎、入りの部分の内容となっております。二次方程式とは？というところから始めます。二次方程式の解き方は簡単に分けて２つあります。それぞれの方法をマスターしておきましょう。

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2020.09.28

 

 

【高校数I】解の公式を少し証明してみた！【研究】

今記事は【高校数I】【二次方程式】にて欠かせない『解の公式』。これは覚えさえすれば大丈夫ですが、ふと証明をしたくなったので記事にしました。解の公式ってなんでこんな形なのか気になる方、仕組み知っておいた方が覚えやすいわ！って方ご覧ください。

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2020.09.29

 

 

【高校数I】二次方程式の判別式を元数学科が解説【苦手克服】

今回は【高校数I】【二次方程式】の『判別式』について記事にしました。Dが0より大きいか小さいか、はたまた0かによって解の数が分かるという便利な式ですね。判別式の説明と、そもそもなんで判別式を使えば解の数が分かるのかまで詳しく書きました。

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2020.10.08

 

 

次の二次方程式を解きなさい。

まずは基礎中の基礎問です。

解き方は２つあるのは前の記事でお話ししましたね？

①因数分解で解く。

②解の公式を使って解く。

今回は全問解の公式を使って解いていきます！

 

 

$x^2-4x+2=0$

では早速解の公式を使います。

 

$x=\frac{4\pm \sqrt{16-4\times 1\times 2}}{2}=\frac{4\pm \sqrt{8}}{2}=\frac{4\pm 2\sqrt{2}}{2}=2\pm \sqrt{2}$

 

 

 

$２x^2-5x-3=0$

解の公式いきます！

$x=\frac{5\pm \sqrt{25-4\times 2\times (-3)}}{4}=\frac{5\pm \sqrt{49}}{4}=\frac{5\pm 7}{4}$

つまり$x=3,-\frac{1}{2}$

一部定数が文字になっている式から実数解の個数を求める

一部定数が文字パターンの問題もたくさん存在します。

数学嫌いな方は抵抗を感じるかもですが、たくさん問題を解けばコツを掴めますので頑張りましょう！

$２x^2-5x+m=0(m\mathrm{は}\mathrm{定}\mathrm{数})$の実数解の個数を求めなさい。

やることは簡単です。

判別式$D$を使って場合わけをする

これです。これだけです。

やってみましょう(● ˃̶͈̀ロ˂̶͈́)੭ꠥ⁾⁾

$D=(-5{)}^2-4\times 2\times m=25-8m$

ここで場合わけです。

 

判別式	実数解の数
$D>0$	2
$D=0$	1
$D<0$	0

 

これにしたがって

$25-8m>0$

$25>8m$

$m<\frac{25}{8}$

 

$25-8m=0$

$m=\frac{25}{8}$

 

$25-8m<0$

$25<8m$

$m>\frac{25}{8}$

したがって答えは

$m<\frac{25}{8}\mathrm{の}\mathrm{時}\mathrm{実}\mathrm{数}\mathrm{解}2\mathrm{つ}$

$m=\frac{25}{8}\mathrm{の}\mathrm{時}\mathrm{実}\mathrm{数}\mathrm{解}1\mathrm{つ}$

$m>\frac{25}{8}\mathrm{の}\mathrm{時}\mathrm{実}\mathrm{数}\mathrm{解}0\mathrm{つ}$

実数解から二次方程式内の文字を導く

このパターンの問題をやっていきます。

これもポピュラーですのでできるように！

$x^2+2x+k=0(k\mathrm{は}\mathrm{定}\mathrm{数})$が重解を持つ時、$k$の値、その重解を求めなさい。

さてやっていきましょう！

まずは重解を持つそうなので判別式$D=0$を利用します。

$D=2^2-4\times 1\times k=4-4k$

$4-4k=0$つまり$k=1$

これで$k$が分かりました。これで解も分かりますね？$k=1$を代入しまして

$x^2+2x+1=0$

これを解くと

$(x+1{)}^2=0$つまり$x=-1$です。　答え$k=1$、重解$x=-1$

 

2つの実数解から定数を求める

最後にこれやっていきましょう。

 

 

$x^2+(p-3q)x+2q=0$において、解が$x=2,3$である時、$p,q$を求めなさい。

解き方としてはまず、2つの解が分かっているので代入しましょう！

$x=2$を代入する

$4+2(p-3q)+2q=0\Rightarrow 2p-4q=-4\Rightarrow p-2q=-2$

$x=3$を代入する

$9+3(p-3q)+2q=0\Rightarrow 3p-7q=-9$

2つの方程式が出てきましたね？そして文字は$p,q$の2つ。

よって連立方程式を組めば解けます！

$$\begin{array}{r}\{\begin{array}{l}p–q=-2\\ 3p–7q=-9\end{array}\end{array}$$

こちら解くと、$p=-\frac{5}{4}、q=\frac{3}{4}$

 

最後に/次回予告

どうでしたか？

私は二次方程式は数学の分野でもかなり好きな部類なので、記事を作ってて楽しかったです！

みなさんにも楽しんでいただけたらと、できる限り分かりやすくしたつもりなので何度も読んで勉強してくださいね(￣▽￣)

次回は、もう少し難しめの二次方程式の問題を解説しようかと思っております。

是非ご覧ください！