みなさんおはこんばんにちは、ジルでございます！
前回まで二次方程式に関する解説記事を書いてきました。
今回は実践編です！
基礎問題と応用問題に分けてやりまっせ！今回は基礎問題編( ^ω^ )
解の公式と判別式を利用する問題をやります。
もし不安な方は、記事を貼っておきますのでご覧ください！
次の二次方程式を解きなさい。
まずは基礎中の基礎問です。
解き方は２つあるのは前の記事でお話ししましたね？
①因数分解で解く。
②解の公式を使って解く。
今回は全問解の公式を使って解いていきます！
この問題は一番基礎となるものです。確実に解けるようにしましょう。
$x^2-4x+2=0$
では早速解の公式を使います。
$x=\frac{4 \pm \sqrt{16-4 \times 1 \times 2}}{2}=\frac{4 \pm \sqrt{8}}{2}=\frac{4 \pm 2\sqrt{2}}{2}=2 \pm \sqrt{2}$
$２x^2-5x-3=0$
解の公式いきます！
$x=\frac{5 \pm \sqrt{25-4 \times 2 \times (-3)}}{4}=\frac{5 \pm \sqrt{49}}{4}=\frac{5 \pm 7}{4}$
つまり$x=3,-\frac{1}{2}$
一部定数が文字になっている式から実数解の個数を求める
一部定数が文字パターンの問題もたくさん存在します。
数学嫌いな方は抵抗を感じるかもですが、たくさん問題を解けばコツを掴めますので頑張りましょう！
問題をたくさん解くことが上達への一番近道です。
$２x^2-5x+m=0 (mは定数)$の実数解の個数を求めなさい。
やることは簡単です。
判別式$D$を使って場合わけをする
これです。これだけです。
やってみましょう(● ˃̶͈̀ロ˂̶͈́)੭ꠥ⁾⁾
$D=(-5)^2-4 \times 2 \times m=25-8m$
ここで場合わけです。
| 判別式 | 実数解の数 |
|---|---|
| $D \gt 0$ | 2 |
| $D = 0$ | 1 |
| $D \lt 0$ | 0 |
これにしたがって
$25-8m \gt 0$
$25 \gt 8m$
$m \lt \frac{25}{8}$
$25-8m = 0$
$m=\frac{25}{8}$
$25-8m \lt 0$
$25 \lt 8m$
$m \gt \frac{25}{8}$
したがって答えは
$m \lt \frac{25}{8} の時 実数解2つ$
$m=\frac{25}{8} の時 実数解1つ$
$m \gt \frac{25}{8} の時 実数解0つ$
実数解から二次方程式内の文字を導く
このパターンの問題をやっていきます。
これもポピュラーですのでできるように！
$x^2+2x+k=0 (kは定数)$が重解を持つ時、$k$の値、その重解を求めなさい。
さてやっていきましょう！
まずは重解を持つそうなので判別式$D=0$を利用します。
$D=2^2-4 \times 1 \times k=4-4k$
$4-4k=0$つまり$k=1$
これで$k$が分かりました。これで解も分かりますね？$k=1$を代入しまして
$x^2+2x+1=0$
これを解くと
$(x+1)^2=0$つまり$x=-1$です。 答え$k=1$、重解$x=-1$
2つの実数解から定数を求める
最後にこれやっていきましょう。
今回取り上げた問題の中では一番難問です。ファイト！
$x^2+(p-3q)x+2q=0$において、解が$x=2,3$である時、$p,q$を求めなさい。
解き方としてはまず、2つの解が分かっているので代入しましょう！
$x=2$を代入する
$4+2(p-3q)+2q=0 \Rightarrow 2p-4q=-4 \Rightarrow p-2q=-2$
$x=3$を代入する
$9+3(p-3q)+2q=0 \Rightarrow 3p-7q=-9$
2つの方程式が出てきましたね？そして文字は$p,q$の2つ。
よって連立方程式を組めば解けます！
\begin{eqnarray}
\left\{
\begin{array}{l}
p – q = -2 \\
3p – 7q = -9
\end{array}
\right.
\end{eqnarray}
こちら解くと、$p=-\frac{5}{4}、q=\frac{3}{4}$
最後に/次回予告
どうでしたか？
私は二次方程式は数学の分野でもかなり好きな部類なので、記事を作ってて楽しかったです！
みなさんにも楽しんでいただけたらと、できる限り分かりやすくしたつもりなので何度も読んで勉強してくださいね(￣▽￣)
次回は、もう少し難しめの二次方程式の問題を解説しようかと思っております。
是非ご覧ください！
楽しい数学Lifeを！
