みなさんおはこんばんにちは。
カロリーを気にしているジルでございます！
今回は割り算について掘り下げていきます。
割り算なんて小学校でやったよ？
あれを文字を使ってより深く学んでいきます。
基礎
まずは小学校でやった割り算をしましょう。
「30を7で割ると4余り2」
これを式で表すと
$30 =7 \times 4+2$
高校数学Aではこの式を文字を使って一般化します。
画像
実際に置き換えると
$a=b \times q +r$短縮すると$a=bq+r$
a,q,r：整数
b：正の整数
$0 \leqq r \lt b$
それぞれの文字を説明すると
a…割られる数
b…割る数
q…商
r…余り
です。
小学校では（自然数）÷（自然数）のみでしたが、高校数学では（整数）÷（正の整数）を考えます。つまりマイナスを含むパターンもあるということです。
例えば-30を7で割った場合は
$-30=7 \times (-5)+5$
になります。
ねえねえこれってさ、
$-30=7 \times (-4)-2$
でもええんちゃうか？よりスッキリした感じになるで！
一見悪くないですが、余りの範囲外です。先ほど説明したように余りは
$0 \leqq r \lt b$
を満たす必要があります。
つまり今回は$0 \leqq r \lt 7$でなくてはならないのです。
あと、余りr=0の時は割り切れるってこと！
頻出問題
ではここで、この分野の頻出問題をやっていきましょう(● ˃̶͈̀ロ˂̶͈́)੭ꠥ⁾⁾
手順②：掲示された問題式に代入。
手順③：②の指揮を計算して、$a=bq+r$の形に持っていく。
この順番に解いていけば怖くありません。
手順①
xは7で割ると2余るので、
$x=7q_1 +2$
yは7で割ると5余るので、
$y=7q_2 +5$
と表せます。
これで下準備はオッケーです！
各設問を手順②から解答していきましょう(● ˃̶͈̀ロ˂̶͈́)੭ꠥ⁾⁾
（１）x+y
手順②
手順①で置き換えたx,yを代入してみましょう。
$x+y=(7q_1 +2)+(7q_2 +5)=7q_1 +7q_2 +7$
手順③
手順②で導き出した式を$a=bq+r$の形にしましょう。
$0 \leqq r \lt b$に注意！
$7q_1 +7q_2 +7=7(q_1 +q_2 +1)$
つまり余りは0。
分かりやすく書くと
$7q_1 +7q_2 +7=7(q_1 +q_2+1)+0$
ってこと！
（２）x-y
手順②
$x-y=(7q_1 +2)-(7q_2+5)=7q_1 -7q_2 -3$
手順③
余りの範囲に注意して
$7q_1-7q_2-3=7(q_1 -q_2 -1)+4$
余りは４。
ここでやってはいけないのは
「$7q_1-7q_2-3=7(q_1 -q_2)-3$だから答えは-3」
ってやつ。
-3は今回の問題の余りの範囲$0 \leqq r \lt 7$を満たしていないので間違いです！
（３）xy
手順②
$xy=(7q_1+2)(7q_2+5)=49q_1q_2+35q_1+14q_2+10$
手順③
$49q_1q_2+35q_1+14q_2+10=7(7q_1q_2+5q_1+2q_2+1)+3$
したがって余りは３。
（４）$x^2+y^2$
手順②
$x^2+y^2=(7q_1+2)^2+(7q_2+5)^2=(49q_1^2+28q_1+4)+(49q_2^2+70q_2+25)$
$=49q_1^2+28q_1+49q_2^2+70q_2+29$
手順③
$49q_1^2+28q_1+49q_2^2+70q_2+29=7(7q_1^2+4q_1+7q_2^2+10q_2+4)+1$
したがって余りは１。
最後に
もう少しで数Aの記事が一通り書き終わります。長かった…^ ^
最後までぜひお付き合いください！
楽しい数学Lifeを！
