【高校数A】整数の性質「整数の割り算と商及び余り」を元数学科が解説

ジル

みなさんおはこんばんにちは。

カロリーを気にしているジルでございます！

今回は割り算について掘り下げていきます。

割り算なんて小学校でやったよ？

ジル

あれを文字を使ってより深く学んでいきます。

基礎
頻出問題
最後に

基礎

まずは小学校でやった割り算をしましょう。

「30を7で割ると4余り2」

これを式で表すと

$30 = 7 \times 4 + 2$

高校数学Aではこの式を文字を使って一般化します。

画像

実際に置き換えると

$a = b \times q + r$ 短縮すると $a = b q + r$

a,q,r：整数
b：正の整数
$0 ≦ r < b$

それぞれの文字を説明すると

a…割られる数
b…割る数
q…商
r…余り

です。

ジル

小学校では（自然数）÷（自然数）のみでしたが、高校数学では（整数）÷（正の整数）を考えます。つまりマイナスを含むパターンもあるということです。

例えば-30を7で割った場合は

$- 30 = 7 \times (- 5) + 5$

になります。

苦戦しつつ調べるあざらし

ねえねえこれってさ、

$- 30 = 7 \times (- 4) - 2$

でもええんちゃうか？よりスッキリした感じになるで！

ジル

一見悪くないですが、余りの範囲外です。先ほど説明したように余りは

$0 ≦ r < b$

を満たす必要があります。

つまり今回は $0 ≦ r < 7$ でなくてはならないのです。

あと、余りr=0の時は割り切れるってこと！

頻出問題

ではここで、この分野の頻出問題をやっていきましょう(● ˃̶͈̀ロ˂̶͈́)੭ꠥ⁾⁾

《問題》
整数x,yについて
x：7で割ると2余る。
y：7で割ると5余る。
とする。この時次の式を5で割った余りを求めなさい。
（１）

x + y

（２）

x - y

（３）

x y

（４）

x^{2} + y^{2}

このタイプの問題はよく出ますので確実に解けるようにしましょう。

手順①：用意された整数（今回はx,y）を一般の割り算（

a = b q + r

）の形で表す。
手順②：掲示された問題式に代入。
手順③：②の指揮を計算して、

a = b q + r

の形に持っていく。

この順番に解いていけば怖くありません。

手順①

xは7で割ると2余るので、

$x = 7 q_{1} + 2$

yは7で割ると5余るので、

$y = 7 q_{2} + 5$

と表せます。

ジル

これで下準備はオッケーです！

各設問を手順②から解答していきましょう(● ˃̶͈̀ロ˂̶͈́)੭ꠥ⁾⁾

（１）x+y

手順②

手順①で置き換えたx,yを代入してみましょう。

$x + y = (7 q_{1} + 2) + (7 q_{2} + 5) = 7 q_{1} + 7 q_{2} + 7$

手順③

手順②で導き出した式を $a = b q + r$ の形にしましょう。

$0 ≦ r < b$ に注意！

$7 q_{1} + 7 q_{2} + 7 = 7 (q_{1} + q_{2} + 1)$

つまり余りは0。

ジル

分かりやすく書くと

$7 q_{1} + 7 q_{2} + 7 = 7 (q_{1} + q_{2} + 1) + 0$

ってこと！

（２）x-y

手順②

$x - y = (7 q_{1} + 2) - (7 q_{2} + 5) = 7 q_{1} - 7 q_{2} - 3$

手順③

余りの範囲に注意して

$7 q_{1} - 7 q_{2} - 3 = 7 (q_{1} - q_{2} - 1) + 4$

余りは４。

ジル

ここでやってはいけないのは

「 $7 q_{1} - 7 q_{2} - 3 = 7 (q_{1} - q_{2}) - 3$ だから答えは-3」

ってやつ。

-3は今回の問題の余りの範囲 $0 ≦ r < 7$ を満たしていないので間違いです！

（３）xy

手順②

$x y = (7 q_{1} + 2) (7 q_{2} + 5) = 49 q_{1} q_{2} + 35 q_{1} + 14 q_{2} + 10$

手順③

$49 q_{1} q_{2} + 35 q_{1} + 14 q_{2} + 10 = 7 (7 q_{1} q_{2} + 5 q_{1} + 2 q_{2} + 1) + 3$

したがって余りは３。

（４） $x^{2} + y^{2}$

手順②

$x^{2} + y^{2} = (7 q_{1} + 2)^{2} + (7 q_{2} + 5)^{2} = (49 q_{1}^{2} + 28 q_{1} + 4) + (49 q_{2}^{2} + 70 q_{2} + 25)$
$= 49 q_{1}^{2} + 28 q_{1} + 49 q_{2}^{2} + 70 q_{2} + 29$

手順③

$49 q_{1}^{2} + 28 q_{1} + 49 q_{2}^{2} + 70 q_{2} + 29 = 7 (7 q_{1}^{2} + 4 q_{1} + 7 q_{2}^{2} + 10 q_{2} + 4) + 1$

したがって余りは１。

最後に

もう少しで数Aの記事が一通り書き終わります。長かった…^ ^

最後までぜひお付き合いください！

ジル

楽しい数学Lifeを！