【高校数一】『ヘロンの公式』を使いこなそう｜三角形の面積の求め方のまとめ

今回は新たな三角形の面積の求め方をご教授します。

 

以前書いたこちらの記事で解いた問題を使ってみます。

 

【高校数学】正弦定理・余弦定理を利用して三角形の面積を求める。

今回は【高校数学】【数I】『図形と計量』で正弦定理・余弦定理を利用して三角形の面積を求めます。

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2021.04.01

 

 

$a=8,b=6,c=4$の三角形の面積は$S=3\sqrt{15}$でした。

その際、

 

①正弦定理・余弦定理を用いて、公式を使わずに解く方法

②$S=\frac{1}{2}bc\sin A=\frac{1}{2}ca\sin B=\frac{1}{2}ab\sin C$を用いて解く方法

 

を紹介しました。

今回はまた違う解き方を勉強しましょう！

 

ヘロンの公式

早速公式紹介！

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こういうものです。

先程のa=8,b=6,c=4の三角形の面積をヘロンの公式を用いて求めてみましょう。

まずはsを求めましょう。

$s=\frac{8+6+4}{2}=9$

とまあ簡単に求められまして、次に本題の面積Sを求めます。

$S=\sqrt{9(9-8)(9-6)(9-4)}$

$=\sqrt{9\times 1\times 3\times 5}=3\sqrt{15}$

 

 

練習問題（３通りの方法で解く）

ここ最近紹介した三角形の面積の求め方を確認しがてら問題を解いてみましょう！

 

問題：次のような△ABCの面積Sを求めなさい。a=3,b=6,c=7

 

解①：正弦定理・余弦定理を使って解く

特別な公式を使わない場合はこの方法です。

今回の問題のように３辺の長さが出ている場合、次の手順で答えが出せます。

❶：どこかの角のcosを求める。

 

❷：❶で求めたcosを用いてsinを求める。

こちらは

${\sin }^2\theta +{\cos }^2\theta =1$

を使えばいけます。

${\sin }^{2}A+(\frac{19}{21}{)}^2=1$

⇩（式変形）

${\sin }^{2}A=1-\frac{{19}^2}{{21}^2}=\frac{{21}^2-{19}^2}{{21}^2}$

 

⇩（式変形）

${\sin }^{2}A=\frac{(21+19)(21-19)}{{21}^2}=\frac{40\times 2}{{21}^2}=\frac{80}{{21}^2}$

⇩（式変形）

$\sin A=\frac{\sqrt{80}}{\sqrt{{21}^2}}$

⇩（式変形）←ちなみに三角形の性質上$0<A<180°＄\mathrm{よ}\mathrm{り}$\sin A \lt 0$

$\sin A=\frac{4\sqrt{5}}{21}$

 

❸：❷で導いたsinを使って三角形の高さを求める。

こちらの三角形に注目。

上の画像のように高さをと置くと

$\sin A=\frac{h}{6}$

よって❷で出したsinAを代入して

$\frac{4\sqrt{5}}{21}=\frac{h}{6}$

⇩（式変形）

$21h=24\sqrt{5}$

⇩（式変形）

$h=\frac{8\sqrt{5}}{7}$

 

❹：底辺×高さ×1/2で面積を出す。

ここまでこればあとは楽勝！

$S=7\times \frac{8\sqrt{5}}{7}\times \frac{1}{2}=4\sqrt{5}$

 

 

解②：$S=\frac{1}{2}bc\sin A$を使って解く

次に公式を使ってみます。

 

 

❸：公式に代入する。

$S=\frac{1}{2}bc\sin A=\frac{1}{2}ca\sin B=\frac{1}{2}ab\sin C$

に代入します。

今回はsinAが出ていますので、$S=\frac{1}{2}bc\sin A$を利用します。

$S=\frac{1}{2}\times 6\times 7\times \frac{4\sqrt{5}}{21}=4\sqrt{5}$

 

 

③：ヘロンの公式を使って解く

 

❶sを求める。

$s=\frac{a+b+c}{2}$

に代入しましょう！

a=3,b=6,c=7より

$s=\frac{3+6+7}{2}=8$

 

❷ヘロンの公式を使う。

$S=\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$にa=3,b=6,c=7,s=8を代入します。

$S=\sqrt{8(8-3)(8-6)(8-7)}$

$=\sqrt{8\times 5\times 2\times 1}$

$=\sqrt{80}=4\sqrt{5}$

 

最後に（今回のまとめ）

３辺の長さが分かっている三角形の面積の求め方を３通り紹介しました。

 

私は最低限のことしか覚えておりません。しかし大学数学科まで進学できました。

何度も言っていますが、大事なのは場数です。

たくさん問題を解きましょう。繰り返しときましょう。

それが一番の近道です。