【高校数A】整数の性質「一次不定方程式」を元数学科が解説

今回は方程式の勉強です。ただしあまり聞き慣れない方程式です。

一次不定方程式です！

 

 

一次不定方程式とは？

 

中学とかで習った方程式って、解が１つとか２つとかそれくらいでしたよね？

今回みたいな文字が２つ含まれている方程式の場合、連立方程式を習ったのを覚えていますか？

$\begin{array}{r}\{\begin{array}{l}2x+3y=1\\ x+5y=3\end{array}\end{array}$

連立方程式なら解を１つに絞れます。

よって解は$(-\frac{4}{7},\frac{5}{7})$

 

頻出問題を解いてみる！

テストで出題されそうな問題をいくつか解いてみましょう(● ˃̶͈̀ロ˂̶͈́)੭ꠥ⁾⁾

$ax+by=1$を満たす解を1つ求めなさい。

 

$ax+by=1$の整数解を求めなさい。

先ほどは具体的な解を１つ求めれば良かったのですが、今回は１つという指定がありません。

先ほど説明したように、一次不定方程式は解がいくつも存在します。

この場合は文字を使って解を表すのです！

 

これが解き方手順です。

実際にやってみましょう٩( ‘ω’ )و

 

$(\mathrm{元}\mathrm{の}\mathrm{式})：73x+55y=1$

$(\mathrm{①}\mathrm{を}\mathrm{代}\mathrm{入}\mathrm{し}\mathrm{た}\mathrm{式})：73\times (-3)+55\times 4=1$

よって(元の式)-(①を代入した式)は

$(\mathrm{左}\mathrm{辺})=(73x+55y)-\{73\times (-3)+55\times 4\}=73(x+3)+55(y-4)$

$(\mathrm{右}\mathrm{辺})=0$

③式を整理して文字を使って解を表す。

したがって

$73(x+3)+55(y-4)=0$が成立します。さらに移項して

$73(x+3)=-55(y-4)$

73と55は「互いに素」なので整数kを用いて

$x+3=-55k$、$y-4=73k$

と表すことができます。

 

【「互いに素」についての補足事項】ーーーーーーーーーー

 

少し等式を簡略化しましょう。$x+3=m$、$n=y-4$と置いて
$73m=-55n$
73と55が「互いに素」とはどういうことだったでしょう？それは
公約数が１のみ
ってことです。そのことを踏まえて次のことを考えてみよう(● ˃̶͈̀ロ˂̶͈́)੭ꠥ⁾⁾
『約数と倍数』で勉強したことを覚えていますか？忘れた方はこちらの記事で復習してね！

つまり$73m=-55n$から
⑴73mは-55の倍数（-55は73mの約数）
⑵-55nは73の倍数（73は-55nの約数）
ということである。…ってことみなさん分かりますか？？

⑴について、73mが-55の倍数ということは73mを因数分解した時に-55が含まれているということです。

 

あとはこれを$73m=-55n$に代入して

$73\times (-55k)=-55n$

$n=73k$

あとはm、nを戻して

$x+3=-55k$
$y-4=73k$

 

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あとは移項すればok

$x=-55k-3$
$y=73k+4$

 

$ax+by=c$の整数解を全て求めなさい。

さっき紹介したパターンの右辺が1でないバージョンですね！

実際解き方もそんなに変わりません。

 

①$ax+by=1$をユークリッドの互除法を使って具体解を１つ求める。

$43x+18y=1$の具体解を１つ求めます。

したがって$(x,y)=(-5,12)$が１つの具体解となります。

②具体解を$ax+by=1$に代入して両辺にcを掛ける。

$43\times (-5)+18\times 12=1$

両辺に5を掛けて

$43\times (-5)\times 5+18\times 12\times 5=5$

$43\times (-25)+18\times 60=5$

 

③元の式から②の式を引く。

$43x+18y=5$
$43\times (-25)+18\times 60=5$

上の式から下の式を引くと

$(\mathrm{左}\mathrm{辺})=(43x+18y)-\{43\times (-25)+18\times 60\}=43(x+25)+18(y-60)$
$(\mathrm{右}\mathrm{辺})=0$

よって

$43(x+25)+18(y-60)=0$

移項して

$43(x+25)=-18(y-60)$

43と18は互いに素なので、ある整数をkとして$x+25=-18k$と表せます。

$x=-18k-25$

また$x+25=-18k$を$43(x+25)=-18(y-60)$に代入して

$43\times (-18k)=-18(y-60)$

$-43k=-(y-60)$

$y=43k+60$

答えは

$x=-18k-25$
$y=43k+60$

 

最後に

結構文字が多くて苦手な人は少し嫌になるかもw

めげずに頑張ろう！理解できた時の達成感がたまりませんよ！