【高校数Ⅱ】式と証明「二項定理」を元数学科が解説｜苦手克服

ジル

みなさんおはこんばんにちは。

最近ニンニク食べすぎてどうにかなってしまいそうなジルでございます！

今回

『二項定理』

についての学習です。

前回記事にした三次式の展開・因数分解から続く内容ですのでもし不安な方はまずはこちらの記事からご覧ください(● ˃̶͈̀ロ˂̶͈́)੭ꠥ⁾⁾

【高校数Ⅱ】式と証明「3次式の展開と因数分解」を元数学科が解説｜苦手克服

【高校数学】【数II】『式と証明』から「3次式の展開と因数分解」基礎的なところから少し複雑な次のステップまでを詳しく解説してあります。

二項定理とは？
1. パスカルの三角形
2. 二項定理
練習問題①
練習問題②
$(a + b + c)^{n}$ の一般項
練習問題③
まとめ

二項定理とは？

$(a + b)^{n}$

を展開する方法です。

《復習》

(a + b)^{2} = a^{2} + 2 a b + b^{2}

(n=2)

(a + b)^{3} = a^{3} + 3 a^{2} b + 3 a b^{2} + b^{3}

(n=3)

ジル

これだけだと分かりづらいですが実は法則性があります。

・パスカルの三角形
・二項定理

のふたつの観点から見てみましょう！

パスカルの三角形

◎左右対象
◎左端、右端は常に１
◎左端、右端以外は左上と右上の数字の合計

ジル

勘のいい人は気が付いたでしょうか？

こういう法則になっているわけです。

ジル

ではみなさんn=4（４次式） $(a + b)^{4}$ の展開をパスカルの三角形で求められますか？

ぜひやってみてください。

答えは

$a^{4} + 4 a^{3} b + 6 a^{2} b^{2} + 4 a b^{3} + b^{4}$

です。分かりましたか？？

二項定理

パスカルの三角形を使えばnの値がそんなに大きくなければ求められますが大きくなってきたら厳しくなってきます。そんな時使うのが『二項定理』になります。

二項定理には組み合わせ

_{n} C_{k}

を使います。

_{n} C_{k} = \frac{n \times (n - 1) \times \dots {n - (k + 1)}}{k \times (k - 1) \times \dots \times 1}

_{n} C_{k} =_{n} C_{n} - k

_{n} C_{0} =_{n} C_{n} = 1

ではいきます。

《二項定理》
$0 ≦ r ≦ n$
$(a + b)^{n} =_{n} C_{0} +_{n} C_{1} a^{n - 1} b +_{n} C_{2} a^{n - 2} b^{2}$
$+ \dots_{n} C_{r} a^{n - r} b^{r} + \dots_{n} C_{n} b^{n}$

数学が苦手なネッコ

めっちゃムズそう！こりゃだめだ

やっぱり数学は嫌いだ！

ジル

とりあえず100回書いて覚えましょう。話はそれからです。

さきほど復習した

$(a + b)^{2} = a^{2} + 2 a b + b^{2}$ (n=2)
$(a + b)^{3} = a^{3} + 3 a^{2} b + 3 a b^{2} + b^{3}$ (n=3)

もこの定理に当てはまりますよ！

$(a + b)^{2} =_{2} C_{0} a^{2} +_{2} C_{1} a b +_{2} C_{2} b^{2} = a^{2} + 2 a b + b^{2}$
$(a + b)^{3} =_{3} C_{0} a^{3} +_{3} C_{1} a^{3 - 1} b +_{3} C_{2} a^{3 - 2} b^{2} +_{3} C_{3} b^{3}$
$= a^{3} + 3 a^{2} b + 3 a b^{2} + b^{3}$

また二項定理

$(a + b)^{n} =_{n} C_{0} +_{n} C_{1} a^{n - 1} b +_{n} C_{2} a^{n - 2} b^{2}$
$+ \dots_{n} C_{r} a^{n - r} b^{r} + \dots_{n} C_{n} b^{n}$

において

$_{n} C_{r} a^{n - r} b^{r}$

を一般項といいます。

また

青線の部分を二項係数といいます。

練習問題①

次の式を展開しなさい。

(1) $(x - 2 y)^{5}$
(2) $(2 a - 3 b)^{4}$
(3) $(x + \frac{y}{3})^{4}$
(4) $(a^{2} + \frac{1}{a})^{6}$

ジル

二項定理で一番スタンダードな問題がこれですね。まずはここから完璧にしましょう(● ˃̶͈̀ロ˂̶͈́)੭ꠥ⁾⁾

解き方ですが、ただ二項定理の各文字に当てはめるだけです。

《解答》

(1)二項定理 $(a + b)^{n}$ でa→x、b→-2y、n→5を代入すれば良いです。

答え… $x^{5} - 10 x^{4} y + 40 x^{3} y^{2} - 80 x^{2} y^{3} + 80 x y^{4} - 32 y^{5}$

(2)二項定理 $(a + b)^{n}$ でa→2a、b→-3b、n→4を代入すれば良いです。

答え… $16 a^{4} - 96 a^{3} b + 216 a^{2} b^{2} - 216 a b^{3} + 81 b^{4}$

(3)二項定理 $(a + b)^{n}$ でa→x、b→y/3、n→4を代入すれば良いです。

答え… $x^{4} + \frac{4}{3} x^{3} y + \frac{2}{3} x^{2} y^{2} + \frac{4}{27} x y^{3} + \frac{y^{4}}{81}$

(4)二項定理 $(a + b)^{n}$ でa→ $a^{2}$ 、b→1/a、n→6を代入すれば良いです。

ジル

$\frac{1}{a}$ で少し拒否反応起こしたそこの数学苦手な君！大丈夫ですそんなに難しくありません^ ^

落ち着いて同じことをすれば大丈夫。

答え… $a^{1} 2 + 6 a^{9} + 15 a^{6} + 20 a^{3} + 15 + \frac{6}{a^{3}} + \frac{1}{a^{6}}$

練習問題②

次の式の展開における［　］内に指定された項の係数を求めなさい。

(1) $(a + 5)^{10} ［ a^{7} ］$
(2) $(x + \frac{y}{2})^{18} ［ x^{1} 5 y^{3} ］$

ジル

練習問題①に次いで頻出する問題ですね。一般項の求め方を知っていれば全然難しくありません。

練習問題①より指数が大きくて、二項定理を書き出して見つけるのは骨が折れますよね？なので一般項の求め方を使います。

$(a + b)^{n}$ の一般項は

$_{n} C_{r} a^{n - r} b^{r} a^{n - r} b^{r}$

です。 $(0 ≦ r ≦ n)$

この式の各文字に代入して、適切なrを探せば求められます。

(1)二項定理 $(a + b)^{n}$ でa→a、b→5、n→10を代入した場合その一般項は

$_{1} 0 C_{r} a^{10 - r} 5^{r}$

$a^{7}$ の一般項を求めるにはrが何であれば良いか分かりますか？注目すべきは $a^{10 - r}$ の部分！

$10 - r = 7$ つまりr=3です。

したがってr=3を代入して

$_{10} C_{3} a^{10 - 3} 5^{3} = 120 \times a^{7} \times 125 = 15000 a^{7}$

答え…15000

(2)二項定理 $(a + b)^{n}$ でa→x、b→y/2、n→18を代入した場合その一般項は

$_{18} C_{r} x^{18 - r} (\frac{y}{2})^{r}$

$x^{1} 5 y^{3}$ の一般項を求めるにはrが何であれば良いか分かりますか？r=3ですね！

したがってr=3を代入して

$_{18} C_{3} x^{18 - 3} (\frac{y}{2})^{3} = 816 \times x^{1} 5 \times \frac{y^{3}}{8}$
$= 102 x^{1} 5 y^{3}$

答え…102

$(a + b + c)^{n}$ の一般項

これまで項が2つの場合を学んできました。ひとつ増やしてみましょう。

数学が苦手なネッコ

$(a + b)^{n}$ が二項定理ならこれは三項定理？

ジル

良い質問です！実は三項定理ではなくて『多項定理』になります。

項が３つ以上の場合はすべて多項定理です。

結論から

$(a + b + c)^{n}$ の $a^{p} b^{q} c^{r}$ の一般項は
$\frac{n!}{p! q! r!} a^{p} b^{q} c^{r}$
$(_{n} C_{p} \times_{n - p} C_{q} a^{p} b^{q} c^{r})$

ジル

なぜこうなるのか知りたい方のために証明をしました。少し複雑なので数学が苦手な方は飛ばしてもらって結構です（＾∇＾）ただ一般項の式は覚えてね！

(a + b + c)^{n}

についてまずn=2の場合の展開を見てみましょう。

この時１、２で
1…全ての組み合わせを書き記す
2…同じ組み合わせを足している
ここで理解して欲しいのは

a^{2} + b^{2} + c^{2} + 2 a b + 2 b c + 2 c a

の各係数は各組み合わせが何通りあったかを表しているということです。

組み合わせの観点から図示すると

こんなイメージ。
その組み合わせの個数が係数になります。
この前提を理解しておいてください。
n次式

(a + b + c)^{n}

に戻りましょう。

こんなイメージ。
今回求めるのは

a^{p} b^{q} c^{r}

の一般項ということで
『n個の入れ物の中からaをp個、bをq個、cをr個取り出す組み合わせの個数』
を求めれば良いということになります。
考え方としては
❶：n個の入れ物のうちp個から玉aを取り出す
❷：❶で取り出した入れ物以外のうちq個から玉bを取り出す
❸：❶❷で取り出した入れ物以外からすべて（r個）玉cを取り出す
それぞれの組み合わせを求めればオッケー。
❶：n個からp個取り出すので

_{n} C_{p}

❷：❶で取り出した入れ物を除くと残りの入れ物はn-p個。そこからq個玉bを取り出すので

_{n - p} C_{q}

❸：❶❷で取り出した入れ物を除くと残りの入れ物はn-p-q個。そこからr個玉cを取り出すので

_{n - p - q} C_{r}

。p+q+r=nよりn-p-q=r。したがって

_{n - p - q} C_{r} =_{r} C_{r} = 1

❶〜❸の組み合わせが分かりました。あとはそれぞれ掛けるだけです。

以上が解説です。

ジル

解説の前にも言った通り、少し難しいので公式を覚えておくだけで結構です。

練習問題③

$(2 a + 3 b - 4 c)^{4}$

の展開式における $a b^{2} c$ の項の係数を求めなさい。

ジル

公式に当てはめるだけの簡単なお仕事です。

$(a + b + c)^{n}$ にてa→2a、b→3b、c→-4c、p→1、q→2、r→1に変換すれば良いです。

$\frac{n!}{p! q! r!} a^{p} b^{q} c^{r}$ に代入して

$\frac{4!}{1! 2! 1!} (2 a)^{1} (3 b)^{2} (- 4 c)^{1} = 12 \times 2 a \times 9 b^{2} \times (- 4 c) = - 864 a b^{2} c$

答え…-864

まとめ

《二項定理》
$0 ≦ r ≦ n$
$(a + b)^{n} =_{n} C_{0} +_{n} C_{1} a^{n - 1} b +_{n} C_{2} a^{n - 2} b^{2}$
$+ \dots_{n} C_{r} a^{n - r} b^{r} + \dots_{n} C_{n} b^{n}$

$(a + b + c)^{n}$ の $a^{p} b^{q} c^{r}$ の一般項は
$\frac{n!}{p! q! r!} a^{p} b^{q} c^{r}$
$(_{n} C_{p} \times_{n - p} C_{q} a^{p} b^{q} c^{r})$