【高校数A】「チェバの定理」「メネラウスの定理」を解説する！【苦手克服】

今回は難しそうな定理を２つ解説します。

チェバの定理

まず△ABCを用意します。

各頂点から対面する辺へ線を引きます。ここで大事なのは、その３本の線は△ABCの中の一点で交わるようにすることです。

この時

$\frac{AR}{RB} \times \frac{BP}{PC} \times \frac{CQ}{QA}=1$

が成立します。これが『チェバの定理』です。

ちなみに

$\frac{RB}{AR} \times \frac{PC}{BP} \times \frac{QA}{CQ}=1$

でもいいです。

少しわかりやすくするために分母と分子で色分けしましょう。

ぐるーっと回っていることがわかりますね？これで覚えましょう！

次にチェバの定理の証明をしていきましょう(● ˃̶͈̀ロ˂̶͈́)੭ꠥ⁾⁾

チェバの定理の証明

次のような三角形を用意します。

この中でOBを辺に持つ△AOB、△COBに注目します。

ここで頂点A、頂点Cから直線OBで垂線を引きましょう。

頂点Aから引いた垂線と直線OBとの交点をM

頂点Cから引いた垂線と直線OBとの交点をN

直線OBと辺ACとの交点をQ

とおきます。

 

ここで三角形の面積の求め方を今一度復習しましょう

メネラウスの定理

こちらもまずは△ABCを用意します。

ここに１本の直線を引きます。その直線とABとの交点をP、ACとの交点をQ、その直線と直線BCとの交点をRとします。

この時

$\frac{AP}{PB} \times \frac{BR}{RC} \times \frac{CQ}{QA}=1$

が成立します。

 

こうすると順番になっていることがわかります。

メネラウスの定理の証明

先程の図を用意します。

これにもう１本線を引きます。頂点Cを通って直線PQと平行な直線でそれとABとの交点をDとします。

この時、△BCDと△BRPについて$CD /\!/ RP$より

$PD:BP=RC:BR$

$\frac{BR}{RC}=\frac{BP}{PD}$…①

△APQと△ADCについて$CD /\!/ RP$より

$AP:PD=AQ:QC$

$\frac{CQ}{QA}=\frac{PD}{AP}$…②

$\frac{AP}{PB} \times \frac{CQ}{QA} \times \frac{BR}{RC}$について①②より

$\frac{AP}{PB} \times \frac{CQ}{QA} \times \frac{BR}{RC}=\frac{AP}{PB} \times \frac{PD}{AP} \times \frac{BP}{PD}=1$

 

練習問題

ではここらでチェバの定理、メネラウスの定理を利用した練習問題を解いてみましょう。

 

問①

この時$CQ:QA$を答えなさい。

$AR:RB=3:2$よりAR=3a、RB=2a（aは正の数）と表せます。

同じく$BP:PC=4:7$よりBP=4b、PC=7b（bは正の数）と表せます。

よって

$\frac{AR}{RB} \times \frac{BP}{PC} \times \frac{CQ}{QA}=\frac{3a}{2a} \times \frac{4b}{7b} \times \frac{CQ}{QA}=\frac{3}{2} \times \frac{4}{7} \times \frac{CQ}{QA}=1$

$\frac{6}{7} \times \frac{CQ}{QA}=1$

$\frac{CQ}{QA}=\frac{7}{6}$

$CQ:QA=7:6$

 

問②

この時$CQ:QA$を求めなさい。

 

$AP:PB=2:5$よりAP=2a、PB=5a（aは正の数）で表せます。

$$BR:RC=7:3$よりBR=7b、RC=3b（bは正の数）で表せます。

よって

$\frac{AP}{PB} \times \frac{BR}{RC} \times \frac{CQ}{QA}=\frac{2a}{5a} \times \frac{7b}{3b} \times \frac{CQ}{QA}=\frac{2}{5} \times \frac{7}{3} \times \frac{CQ}{QA}=1$

$\frac{14}{15} \times \frac{CQ}{QA}=1$

$\frac{CQ}{QA}=\frac{15}{14}$

$CQ:QA=15:14$

 

まとめ

 

 

今回は名前は難しそうな定理を２つ解説しました。

次は円に内接する図形の性質を解説します。