【高校数学】二重根号を元数学科が解説する｜苦手克服

今回は根号の中でも『二重根号』がメインの記事です。

 

二重根号というのは

$\sqrt{\sqrt{A}}$

のような形になります。

 

まずは二重根号を解くに当たってとてもとても大事な公式を紹介します。

 

$\sqrt{a+b+2\sqrt{ab}}=\sqrt{a}+\sqrt{b}$

$\sqrt{a+b-2\sqrt{ab}}=\sqrt{a}-\sqrt{b}$

 $(a \gt b \gt 0)$

これです。

なぜこれが成立するか少し証明します！

 

$\sqrt{a}+\sqrt{b}=\sqrt{a+b+2\sqrt{ab}}$について

 

$\sqrt{a}+\sqrt{b}$を二乗しますと

$(\sqrt{a}+\sqrt{b})^2=a+2\sqrt{ab}+b$

今回$a \gt b \gt 0$の条件なのでa,b共に正の数です。

 

A,B共に正の数の時

$A = B \iff A^2 =B^2$、$A = B \iff \sqrt{A} = \sqrt{B}$

ですので、$(\sqrt{a}+\sqrt{b})^2=a+2\sqrt{ab}+b$の両辺にルートをつけても等式は成立します。

$\sqrt{(\sqrt{a}+\sqrt{b})^2}=\sqrt{a+2\sqrt{ab}+b}$

$\sqrt{a}+\sqrt{b}=\sqrt{a+b+2\sqrt{ab}}$

 

 

$\sqrt{a}-\sqrt{b}=\sqrt{a+b-2\sqrt{ab}}$について

$\sqrt{a}-\sqrt{b}$を二乗しますと

$(\sqrt{a}-\sqrt{b})^2=a-2\sqrt{ab}+b$

今回$a \gt b \gt 0$の条件なのでa,b共に正の数です。

 

 

A,B共に正の数の時

$A = B \iff A^2 =B^2$、$A = B \iff \sqrt{A} = \sqrt{B}$

ですので、$(\sqrt{a}-\sqrt{b})^2=a-2\sqrt{ab}+b$の両辺にルートをつけても等式は成立します。

$\sqrt{(\sqrt{a}-\sqrt{b})^2}=\sqrt{a-2\sqrt{ab}+b}$

$\sqrt{a}-\sqrt{b}=\sqrt{a+b-2\sqrt{ab}}$

 

練習問題

では練習問題をやってみましょう。

 

（１）$\sqrt{8+2\sqrt{15}}$

（２）$\sqrt{15-2\sqrt{54}}$

（３）$\sqrt{3+\sqrt{5}}$

 

 

 

《答え》

（１）$\sqrt{(5+3)+2\sqrt{(5 \times 3)}}=\sqrt{5}+\sqrt{3}$

（２）$\sqrt{(9+6)-2\sqrt{(9 \times 6)}}=\sqrt{9}-\sqrt{6}=3-\sqrt{6}$

（３）こちらはパッと見解けなさそうですが、こういうパターンの際は分母が２の分数に変形させると上手くいくことがあります。どういうことかと言いますと、

 

$\sqrt{3+\sqrt{5}}=\frac{2\sqrt{3+\sqrt{5}}}{2}=\frac{\sqrt{2^2(3+\sqrt{5})}}{2}$

$=\frac{\sqrt{12+4\sqrt{5}}}{2}=\frac{\sqrt{12+2\sqrt{20}}}{2}$

こうすると無理矢理形を持ってこれます。

$\frac{\sqrt{12+2\sqrt{20}}}{2}=\frac{\sqrt{(10+2)+2\sqrt{(10 \times 2)}}}{2}$

$=\frac{\sqrt{10}+\sqrt{2}}{2}$

 

 

最後に

如何でしたか？

ポイントは無理矢理に公式に当てはめれる形に持っていくことです。