【高校数Ⅰ】二次関数最大値・最小値の基礎を元数学科が解説します。

ジル

みなさんおはこんばんにちは、ジルでございます！

今回は二次関数の最大値・最小値を勉強しましょう。

この分野を勉強するには、二次関数の基礎部分、軸・頂点の求め方を知っておく必要があります。

関連する記事を下に貼っておいたので、不安な方はぜひご覧ください！

【高校数I】二次関数の基礎を元数学科が解説します。

今回は高校数学数Ⅰの『二次関数』の基礎の記事です。基礎の中でもほんとに入りの部分の内容になります。軸と頂点の出し方、平方完成の基礎、平方完成の基礎の練習問題を元数学科の私ジルが詳しく解説していきます。

【高校数I】二次関数軸・頂点を元数学科が解説します。

数Iで学ぶ二次関数の問題においてまず理解するべきなのは、軸・頂点の求め方です。二次関数を学ぶ方はみなさんぜひ理解して頂きたいところです。数学が苦手な方にも分かりやすい解説を心がけて記事を作りましたのでぜひご覧ください。

定義域について（おまけに値域も）
最大値・最小値の求め方
1. 定義域がない場合
  1. $y = x^{2} + 3$ の最大値・最小値を求めてみよう。
  2. $y = - x^{2} + 1$ をの最大値・最小値を求めてみよう。
2. 定義域がある場合
  1. $y = x^{2} + 3$ の $(- 1 ≦ x ≦ 2)$ の最大値・最小値を求めてみよう。
  2. $y = - x^{2} + 1$ の $(- 3 ≦ x ≦ - 1)$ をの最大値・最小値を求めてみよう。
最後に　次回予告も

定義域について（おまけに値域も）

まずは「定義域」「値域」の復習をしましょう。

定義域… $x$ についての範囲

値域… $y$ についての範囲

になります。

$1 ≦ x ≦ 3$ 　や　 $- 2 ≦ x ≦ 1$ は定義域で、

$1 ≦ y ≦ 3$ 　や　 $- 2 ≦ y ≦ 1$ は値域という訳ですね( ^ω^ )

最大値・最小値の求め方

では本題に入りましょう。

最大値・最小値を求めるということは、

$y$ の値で一番大きい時・一番小さい時を求める

ということです。

二次関数で、最大値・最小値を求める問題では先ほど復習した「定義域」が指定されているパターンとさせていないパターンがあります。

それぞれの場合で勉強しましょう。

定義域がない場合

定義域がない場合は、二次関数の性質上、最大値または最小値が存在しなくなります。

$y = x^{2} + 3$ の最大値・最小値を求めてみよう。

グラフを実際に書いてみると分かります。

最小値、即ち一番小さい $y$ は3ですよね？ズバリ頂点の $y$ の値です。

ところが最大値はないのが分かりますか？何故ならこの二次関数は永遠に上に続いているからです。

答え　最小値：3 最大値：なし

$y = - x^{2} + 1$ をの最大値・最小値を求めてみよう。

最大値は頂点の $y$ の値である1ですね？

一方最小値はありません。グラフを見てわかる通り、下は永遠に続いていますから。

答え　最小値：なし　最大値：1

ジル

一旦まとめてみましょう。

y = a (x - p)^{2} + q

において

a > 0

の時、最大値…存在しない　最小値…

q

a < 0

の時、最大値…

q

　最小値…存在しない

定義域がある場合

次に定義域があるパターンを勉強しましょう！

この場合は最大値・最小値ともに存在します。

求める方法ですが、慣れないうちはしっかりグラフを書いてみるのがいいです。

慣れてきたら書かなくても頭の中で描いて求めることができるでしょう。

まずは簡単な二次関数から始めます。

$y = x^{2} + 3$ の $(- 1 ≦ x ≦ 2)$ の最大値・最小値を求めてみよう。

実際に書いてみると分かりやすいです。

最小値（一番小さい $y$ の値）は3ですね？

最大値（一番大きい $y$ の値）は $x = 2$ の時の $y$ の値なのは、グラフから分かりますかね？

$x = 2$ の時の $y$ 、即ち $f (2)$ は、与えられた二次関数に $x = 2$ を代入すればいいです。

$f (2) = 2^{2} + 3 = 7$

答え　最小値：3 最大値：7

$y = - x^{2} + 1$ の $(- 3 ≦ x ≦ - 1)$ をの最大値・最小値を求めてみよう。

最小値はグラフから、 $x = - 3$ の時の $y$ の値、即ち $f (- 3)$ ですよね？よって

$f (- 3) = - (- 3)^{2} + 1 = - 9 + 1 = - 8$

最大値はグラフから、 $x = - 1$ の時の $y$ の値、即ち $f (- 1)$ です。

$f (- 1) = - (- 1)^{2} + 1 = - 1 + 1 = 0$

答え　最小値：−8　最大値：0

最後に　次回予告も

今記事で、二次関数の最大値・最小値の掴みは理解できましたか？

しかし実際にみなさんが定期テストや受験で解く問題はもっと難しいと思われます。

次回はこの最大値・最小値について応用編のお話をします！

ジル

テストで出てもおかしくないレベルの問題を取り上げるつもりです。

数学が苦手な方でも理解できるように丁寧を心掛けますのでぜひ読みにきてください！

ジル

楽しい数学Lifeを！

定義域について（おまけに値域も）

最大値・最小値の求め方

定義域がない場合

y=x2+3の最大値・最小値を求めてみよう。

y=−x2+1をの最大値・最小値を求めてみよう。

定義域がある場合

y=x2+3の(−1≦x≦2)の最大値・最小値を求めてみよう。

y=−x2+1の(−3≦x≦−1)をの最大値・最小値を求めてみよう。

最後に 次回予告も

$y = x^{2} + 3$ の最大値・最小値を求めてみよう。

$y = - x^{2} + 1$ をの最大値・最小値を求めてみよう。

$y = x^{2} + 3$ の $(- 1 ≦ x ≦ 2)$ の最大値・最小値を求めてみよう。

$y = - x^{2} + 1$ の $(- 3 ≦ x ≦ - 1)$ をの最大値・最小値を求めてみよう。

最後に　次回予告も