【高校数I】二次関数最大値・最小値の応用問題を元数学科が解説

今回は高校数I二次関数「最小値・最大値」の応用問題を解説します。

なんと$x$、$y$以外の文字が出てきます_:(´ཀ`」 ∠):

ではやっていきましょう。

ちなみに今回は１問だけです。

今記事ではこの１問を徹底的に解説したいと思います。苦手な方から得意な方まで皆満足できるようにします。

早速解いていく！

今回紹介する問題を解くには前回の基礎問題の記事で書いた知識が必要です。

二次関数の基礎に不安のある方はご一読ください。

 

【高校数I】二次関数最大値・最小値の基礎問題を元数学科が解説

今回は二次関数の最大値・最小値に関する基礎問題を解説します。二次関数を学ぶ上で原点となる問題で、応用問題を解くにはこの解法の理解は必須です。初心者にも分かりやすいように丁寧に解説したつもりなので、数学が苦手な方もぜひご覧ください！

www.zilleblog.com

2020.09.13

 

$k$：定数とする。 $y=x^2-2kx+2$ $(1\leqq x\leqq 3)$の最小値・最大値を求めなさい。また、その時の$x$の範囲も求めなさい。

こちらを解いてみましょう。

ポイントは場合わけです。

前回、頂点が定義域に入っているか入っていないかで最小値・最大値が変わってくるとお話ししました。

ということでまずは頂点を求めるところから始めましょう！

$y=a(x-p{)}^2+q$に式変形して頂点を求める。

$y=(x^2-2kx)+2=\{(x^2-2kx+k^2)-k^2\}+2=(x^2-2kx+k^2)-k^2+2$

$=(x-k{)}^2-k^2+2$

つまり頂点は$(k,-k^2+2)$です。

 

場合わけをしていく。（何通りすればいいか）

では場合わけします。

とりあえず分かるのは『頂点が定義域に入っている場合』と『頂点が定義域に入っていない場合』の２通りです。

よし、じゃあこの２通りを検証すれば大丈夫！…ではないんですねこれが。

例えば

この２つのグラフについて、両方とも頂点は定義域の外ですが、それぞれ最小値・最大値の$x$の値は変わります。よってこの２つも別に考える必要があります。

 

そして実は定義域の中でも場合わけをしなければなりません。というのも

この３通りでも最小値・最大値、そしてその際の$x$の値は違ってくるのです。

よってここも場合わけする必要があります。

以上のことから

この５通りで場合わけをすれば解けます。

では以前の記事にて確認したことを復習しながら解説します。

頂点が定義域に入っていない場合（①、②）

この場合は

$y=a(x-p{)}^2+q$において

$a>0$の時

最小値は「定義域の左端と右端のうち、頂点に近い方」

最大値は「定義域の左端と右端のうち、頂点に遠い方」

$a<0$の時

最小値は「定義域の左端と右端のうち、頂点に遠い方」

最大値は「定義域の左端と右端のうち、頂点に近い方」

でしたね？覚えていますか？絶対覚えてね！

 

今回$a=1$なので$a>0$のパターンです。

①から順番にやってみましょう。

 

①の場合

$k<1$の場合ですね！

この場合は$x=1$の時最小値、$x=3$の時最大値をとります。

$x=1$の時

$y=1^2-2k+2=3-2k$

$x=3$の時

$y=3^2-2\times k\times 3+2=11-6k$

 

②の場合

$k>3$の場合ですね！

この場合は$x=3$の時最小値、$x=1$の時最大値をとります。

$x=3$の時

$y=3^2-2\times k\times 3+2=11-6k$

$x=1$の時

$y=1^2-2k+2=3-2k$

 

頂点が定義域に入っている場合（③、④、⑤）

今回は$a>0$なので、この場合は

頂点の$y$座標が最小値

定義域の左端と右端、それぞれと頂点の$x$座標との距離で遠い方が最大値

でしたね？覚えてね！

ではではやっていこう。

 

 

③の場合

$1\leqq k<2$の場合になります。

この場合最小値は頂点、最大値は$x=3$の時とります。

$x=3$の時

$y=3^2-2\times k\times 3+2=11-6k$

 

④の場合

これは少し特殊な例です。$k=2$のケース。

最小値は頂点なのですが、最大値は$x=0$、$x=3$にて同じ最大値をとります。

 

kの値が具体的に決まっているので、kに2を代入してしまいましょう。

最小値は頂点なので、$-k^2+2$に$k=2$を代入して

 

$-2^2+2=-2$

 

最大値は$x=1$、$x=3$どちらを二次関数に代入しても同じ答えが出てきます。

今回は$x=1$を使いましょう。

$y=1^2-2k+2=3-2k$

今回は$k=2$と決まっているので

$y=3-2\times 2=-1$

 

⑤の場合

この場合は$2<k\leqq 3$のケースです。

この時は、頂点で最小値、$x=1$で最大値をとります。

$x=1$の時

$y=1^2-2k+2=3-2k$

 

したがって答えが出ましたね！

答え：

$k<1$の場合、$x=1$の時最小値$y=3-2k$、$x=3$の時最大値$y=11-6k$

$k>3$の場合、$x=3$の時最小値$y=11-6k$、$x=1$の時最大値$y=3-2k$

$1\leqq k<2$の場合、$x=k$の時最小値$y=-k^2+2$、$x=3$の時最大値$y=11-6k$

$k=2$の場合、$x=2$の時最小値$y=-2$、$x=1,3$の時最大値$-1$

$2<k\leqq 3$の場合、$x=k$の時最小値$y=-k^2+2$、$x=1$の時最大値$y=3-2k$

 

最後に

かなり壮大な問題になってしまいました。

これが理解できて、解けるようになれば理解度は上がっていると思っていいでしょう！

次は他の応用問題をやろうか、次の単元である二次方程式を解説するか迷っております。

いずれにせよ、苦手な方でも分かりやすいように心がけていきますのでよろしくお願いします(*´∀｀*)