【高校数I】二次関数最大値・最小値の基礎問題を元数学科が解説

ジル

みなさんおはこんばんにちは、ジルでございます！

前回は二次関数の「最大値・最小値」の求め方の基礎を勉強しました。

今回はもう少し掘り下げてみたいと思います。

$y = a x^{2} + b x + c$ の最大値・最小値を求めてみよう！
1. 解き方
実際に問題を解いてみよう！
1. $y = x^{2} - 6 x + 14$ 　 $(4 ≦ x ≦ 6)$
2. $y = - 2 x^{2} + 8 x - 7$ 　 $(0 ≦ x ≦ 3)$
最後に

$y = a x^{2} + b x + c$ の最大値・最小値を求めてみよう！

前回は簡単な二次関数の最大値・最小値を求めました。

今回はもう少し難しめの二次関数でやってみましょう！

解き方

簡単に手順をまとめます。

❶ $y = a (x - p)^{2} + q$ の形に持っていく。

❷与えられた定義域が頂点を含んでいるかどうかを確認する。

❸のⅰ与えられた定義域が頂点を含んでいる場合。

❸のⅱ与えられた定義域が頂点を含んでいない場合。

こんな感じです。

それぞれ解説していきます。

$y = a (x - p)^{2} + q$ の形に持っていく。

まずはこれ。

あれ？やり方忘れたぞ？のために改めて記事貼っときます( ^ω^ )

【高校数I】二次関数軸・頂点を元数学科が解説します。

数Iで学ぶ二次関数の問題においてまず理解するべきなのは、軸・頂点の求め方です。二次関数を学ぶ方はみなさんぜひ理解して頂きたいところです。数学が苦手な方にも分かりやすい解説を心がけて記事を作りましたのでぜひご覧ください。

与えられた定義域が頂点を含んでいるかどうかを確認する。

こちらを確認しましょう。

含んでいるかどうかで少し状況が変わります。

ⅰ与えられた定義域が頂点を含んでいる場合。

この場合は

最大値あるいは最小値が頂点になります。

この場合頂点が最小値になります。

問題は最大値の方です。

注目すべきは

定義域の左端と右端の $x$ 座標と頂点の $x$ 座標との距離

です。

先ほどの二次関数を見てください。

分かりますか？定義域の左端と右端、それぞれと頂点の $x$ 座標との距離を比べて、遠い方が最大値なんですね実は！

頂点の $y$ 座標が最小値

定義域の左端と右端、それぞれと頂点の $x$ 座標との距離で遠い方が最大値

次に

こちらを見てみましょう。今回は頂点が定義域に入っている場合です。

先ほどの逆山形の場合を参考にすると

頂点の $y$ 座標が最大値

定義域の左端と右端、それぞれと頂点の $x$ 座標との距離で遠い方が最小値

になります。

ⅱ与えられた定義域が頂点を含んでいない場合。

この場合は頂点は最大値にも最小値にもなりません。

注目すべきは定義域の左端と右端です。

この場合は

最小値　定義域左端の二次関数の $y$ 座標

最大値　定義域右端の二次関数の $y$ 座標

となることがグラフから分かるかと思います。

この場合は

最小値　定義域右端の二次関数の $y$ 座標

最大値　定義域左端の二次関数の $y$ 座標

となります。

文章で表してみると、要は

$y = a (x - p)^{2} + q$ において

$a > 0$ の時

最小値は「定義域の左端と右端のうち、頂点に近い方」

最大値は「定義域の左端と右端のうち、頂点に遠い方」

$a < 0$ の時

最小値は「定義域の左端と右端のうち、頂点に遠い方」

最大値は「定義域の左端と右端のうち、頂点に近い方」

になります！

たくさん問題を解いて理解してください。

文章だけを覚えても対して力になりません。

ジル

数学のブログで何度も口酸っぱく言っていますが、

「たくさん問題を解くことが数学上達の近道！努力は裏切らない！」

実際に問題を解いてみよう！

一通り説明したので後は実際に解くのみ！

もちろん解説も書いておきますが分からなかったら、以前の記事、上で書いた解説を何度も見返してみましょう！

ジル

では早速やってこう(● ˃̶͈̀ロ˂̶͈́)੭ꠥ⁾⁾

$y = x^{2} - 6 x + 14$ 　 $(4 ≦ x ≦ 6)$

まずはこちらの問題の最大値・最小値を求めましょう。

❶ $y = a (x - p)^{2} + q$ に式変形する。

$y = x^{2} - 6 x + 14 = (x^{2} - 6 x) + 14 = {(x^{2} - 6 x + 9) - 9} + 14 = (x^{2} - 6 x + 9) + 5$

$= (x - 3)^{2} + 5$

これで頂点が $(3, 5)$ であることが分かりました。

❷頂点が定義域に入っているか確認する。

今回の定義域は $4 ≦ x ≦ 6$ で、頂点は $(3, 5)$ 。

入っていませんね？なので先ほどの「❸のⅱ」を参考にします。

❸のⅱ

先ほどの画像を見てください。

$x = 4$ の時の $y$ の値が最小値、 $x = 6$ の時の $y$ の値が最大値をとります。

$x = 4$ の時

$y = 4^{2} - 6 \times 4 + 14 = 6$

$x = 6$ の時

$y = 6^{2} - 6 \times 6 + 14 = 14$

答え　最小値　6　最大値　14

$y = - 2 x^{2} + 8 x - 7$ 　 $(0 ≦ x ≦ 3)$

次にこちらの最小値・最大値を求めましょう。

❶ $y = a (x - p)^{2} + q$ に式変形する。

$y = (- 2 x^{2} + 8 x) - 7 = - 2 (x^{2} - 4 x) - 7 = - 2 {(x^{2} - 4 x + 4) - 4} - 7$

$= - 2 (x^{2} - 4 x + 4) + 8 - 7 = - 2 (x - 2)^{2} + 1$

これで頂点が $(2, 1)$ であることが分かりました。

❷頂点が定義域に入っているか確認する。

入っています。なので先ほどの「❸のⅰ」を参考にします。

❸のⅰ

さきほどの画像を見てみましょう。

最大値が頂点であることが分かりますね？

問題は最小値です。

頂点の $x$ 座標は2です。そして今回の定義域の左端は0、右端は3。

２から遠いのは勿論「０」です。よって最大値は $x = 0$ の時の $y$ の値です。

$x = 0$ の時の $y$ の値は

$y = - 2 \times 0^{2} + 8 \times 0 - 7 = - 7$

答え　最小値　-7 最大値　1

最後に

今回は二次関数の最小値・最大値についての一般基礎クラスの問題を解説しました。

次回は応用問題を解説します。お楽しみに！

ジル

楽しい数学Lifeを！

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y=ax2+bx+cの最大値・最小値を求めてみよう！

解き方

y=a(x−p)2+qの形に持っていく。

与えられた定義域が頂点を含んでいるかどうかを確認する。

ⅰ与えられた定義域が頂点を含んでいる場合。

ⅱ与えられた定義域が頂点を含んでいない場合。

実際に問題を解いてみよう！

y=x2−6x+14 (4≦x≦6)

y=−2x2+8x−7 (0≦x≦3)

最後に

$y = a x^{2} + b x + c$ の最大値・最小値を求めてみよう！

$y = a (x - p)^{2} + q$ の形に持っていく。

$y = x^{2} - 6 x + 14$ 　 $(4 ≦ x ≦ 6)$

$y = - 2 x^{2} + 8 x - 7$ 　 $(0 ≦ x ≦ 3)$