【高校数Ⅰ】二次関数基礎を解説します。（基本のキから）

ジル

みなさんおはこんばんにちは、ジルでございます！

今回は二次関数の基礎を一緒に勉強していきましょう！

ちなみに私は二次関数大好きです( ^ω^ )

ただ二次関数は数学嫌いな方にはハードル高いかもです。

なのでこの記事はじっくり細かく書いてみようと思います。一般的な参考書よりも長ったらしくなってるかもですが、一人でも多くの方の力になれるように書きましたのでよかったらご覧ください！

・ほんとに二次関数が苦手な方
・数学に生理的嫌悪を持っている方

向けの記事になっております。

二次関数の式から軸・頂点を求める
最後にまとめ

二次関数の式から軸・頂点を求める

$y = a x^{2} + b x + c$ の式からグラフを描けるようにしましょう。

しっかりと基礎をつかみましょう(*´∀｀*)

「軸」「頂点」とは？

二次関数においてまず軸と頂点を求めることが大事になってきます。

そもそも軸、頂点とはなんぞや？からお話しします。

頂点…二次関数の山のテッペン

軸…頂点を通り、y軸と平行な直線

文字を使って表す

ある二次関数 $y = a x^{2} + b x + c$ について、そのグラフを描くには主に

①頂点　②軸　③x軸との交点　④y軸との交点

を調べる必要があります。

ジル

問題によっては①、②のみで良かったりする場合もあります。

①頂点、②軸の求め方

この二つを求めるには二次関数を次のように式変形する必要があります。

$y = a {(x - p)}^{2} + q$
この時

軸： $x = p$ 頂点： $（ p, q ）$

となります。

なぜ軸が $x = p$ なのか？

軸の定義『頂点を通り、y軸に平行』をもとにしましょう。

まず、y軸に平行なので $x = ○$ （○には定数が入る）になります。

また頂点が $（ p, q ）$ なので $x = p$ となります。

なぜ頂点が $（ p, q ）$ なのか？

$y = a {(x - p)}^{2} + q$ の式に $x = p$ を代入してみましょう。

$y = a {(p - p)}^{2} + q ＝ q$

よって $（ p, q ）$ が頂点です。

x軸との交点の求め方

x軸とはすなわち『 $y = 0$ 』であります。

よって与えられた二次関数の式に $y = 0$ を代入すればいいです。

y軸との交点の求め方

x軸との交点の求め方と同様のやり方です。

y軸とはすなわち『 $x = 0$ 』であります。

よって与えられた二次関数の式に $x = 0$ を代入すればいいです。

基礎的な式

簡単な二次関数でイメージしてみましょう。

$y = x^{2} - 4$

について考えてみます。

これを先程の $y = a {(x - p)}^{2} + q$ に当てはめてみます。

$y = 1 {(x - 0)}^{2} + (- 4) = x^{2} - 4$

よって $a = 1$ 、 $p = 0$ 、 $q = - 4$ になります。

即ち、　軸は $x = 0$ 　頂点は $(0, - 4)$ となります。

少し踏み込んだ式

$y = 2 x^{2} - 8 x + 11$ のグラフを描いてみましょう。

こちらは先ほどの式と違い一筋縄ではいきません。

丁寧に順を追って解説するのでみなさんついてきてください。

ジル

ほんとに丁寧にやるため、少しまどろっこしかったらすみません(^_^;)

手順その①： $x^{2}$ の項と $x$ の項をカッコで括る。

まずはこれです。

正直手順②とまとめてしまっても良かったのですが、どの参考書よりも丁寧にを心掛けたのであえて分けました。

$y = 2 x^{2} - 8 x + 11 = (2 x^{2} - 8 x) + 11$

これでOK。

手順その②： $x^{2}$ の係数をカッコの外に出す。

今回、 $x^{2}$ の係数は $2$ ですね？なので
$y = 2 (x^{2} - 4 x) + 11$
となります。

手順その③： $y = a {(x - p)}^{2} + q$ の形に持っていく。

ここが鬼門です。

慣れないうちは大変ですが何度も繰り返して慣れましょう。

まずは $2 (x^{2} - 4 x)$ のカッコの中に注目しましょう。

少し難しい変形をします。

$x^{2} - 4 x = (x^{2} - 4 x + 4) - 4 = (x - 2)^{2} - 4$

この変形が、数学苦手な人は厳しいかもです。練習あるのみ！

ジル

後でこの式変形の練習問題を作っておくのでみなさんやってみてください！

したがって

$y = 2 (x^{2} - 4 x) + 11 = 2 {(x - 2)^{2} - 4} + 11 = 2 (x - 2)^{2} - 8 + 11 = 2 (x - 2)^{2} + 3$

はい、これで $y = a {(x - p)}^{2} + q$ の形にできました。

軸： $x = 2$ 　頂点： $(2, 3)$

手順その③でやった式変形をやってみよう

先ほどの問題で

$x^{2} - 4 x = (x^{2} - 4 x + 4) - 4 = (x - 2)^{2} - 4$

の式変形を使いました。

この式変形はこの分野では必須になります。以下にいくつか練習問題を置いておくのでチャレンジしてみてください。

（１）

x^{2} - 6 x

　（２）

x^{2} + 2 x

　（３）

x^{2} + 3 x

ではやってみましょう。

$x^{2} - 6 x$

これは先ほどやった式とほぼ変わらないため復習がてらやってみましょう。

$x^{2} - 6 x = (x^{2} - 6 x + 9) - 9 = (x - 3)^{2} - 9$

$x^{2} + 2 x$

こちら先ほどと少し違いますが、やり方はほぼほぼ同じです。

$x^{2} + 2 x = (x^{2} + 2 x + 1) - 1 = (x + 1)^{2} - 1$

$x^{2} + 3 x$

これはぱっと見ムリそうですができます。

ではやってみましょう！

$x^{2} + 3 x = (x^{2} + 3 x + \frac{9}{4}) - \frac{9}{4} = (x + \frac{3}{2})^{2} - \frac{9}{4}$

この式変形についてもう少し深く掘り下げてみましょう。

式変形③の法則を少し考えてみる

今回は

$x^{2} + a x$

で考えてみましょう。

$x^{2} + 2 a x + a^{2} = (x + a)^{2}$ であることは既に勉強しているかと思います。

今回はxの係数が”2a”ではなく”a”です。

ではどうすればいいのか？

$a$ の部分を $\frac{1}{2} a$ にすればいいのです！

つまりこういうことです。先程の $x^{2} + 2 a x + a^{2} = (x + a)^{2}$ の $a$ の部分を $\frac{1}{2} a$ にしてみます。

$x^{2} + 2 (\frac{1}{2} a) x + (\frac{1}{2} a)^{2} = (x + \frac{1}{2} a)^{2}$

$x^{2} + a x + (\frac{1}{2} a)^{2} = (x + \frac{1}{2} a)^{2}$

$(\frac{1}{2} a)^{2}$ を移行して

$x^{2} + a x = (x + \frac{1}{2} a)^{2} - (\frac{1}{2} a)^{2}$

$(\frac{1}{2} a)^{2}$ のカッコを無くして

$x^{2} + a x = (x + \frac{1}{2} a)^{2} - \frac{1}{4} a^{2}$

さあ、一つ公式ができました！

x^{2} + a x = (x + \frac{1}{2} a)^{2} - \frac{1}{4} a^{2}

先ほどやった３つの式にもこの公式は使えます。

公式を覚えるか、計算するかはお任せします。

私個人的には計算をお勧めしますが笑。

数学は公式たくさんありますよね？全部覚えるのはかなり厳しいかと思います。

最低限覚えて、残りは公式使わずとも計算して答えを導くのがベストです。

ジル

私は記憶力ないので公式あんまり覚えられないんです_:(´ཀ`」 ∠):

計算することで、計算力上昇にも繋がります。

最後にまとめ

今回は二次関数の初めの方だけ触れてみました。

次回はもう少し踏み込んだ内容を記事にしたいと思います。

ぜひご覧ください！

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